Arcos con geometría dinámica (GeoGebra). José Manuel Arranz, Rafael Losada, José Antonio Mora y Manuel Sada (Equipo G4D http://geometriadinamica.es )
Resumen En este artículo se propone el diseño de diez de los arcos utilizados en arquitectura con el programa de geometría dinámica GeoGebra. Para cada uno de ellos se ha intentado disfrazar las instrucciones de construcción con una guía en forma de secuencia animada que quiere parecerse en cierto modo a las utilizadas en las construcciones de Lego: partiendo de las piezas iniciales, unas pocas ideas visuales nos van acercando en pequeños saltos al resultado final. El lector podrá utilizar los applets para construir el arco propuesto con todas las funcionalidades de Geogebra en su navegador.

Se incluye, además, una propuesta de trabajo comentada para la clase y las soluciones aportadas por dos grupos de alumnos de secundaria de edades comprendidas entre 12 y 14 años, uno de ellos en el IES Sant Blai de Alicante y el otro formado por los participantes el en proyecto ESTALMAT de la Comunidad Valenciana.

Abstract

The proposal in this article is to design ten of the main arches utilized in architecture with the dynamic geometry software GeoGebra. Their building instructions have been camouflaged with a guide in the shape of an interactive sequence similar to the ones used for the Lego building sets. Starting from the original blocks, a few visual ideas bring us closer to the final result step by step. The reader will use the applets to build the proposed arch in the web browser with all the functions GeoGebra offers.

Moreover, a project proposal with comments is included together with the solutions provided by two groups of secondary school students between the ages of 12 and 14. One group studies at Sant Blai High School in Alicante and the other one is formed by the participants of the ESTALMAT project in the Region of Valencia.

Introducción Arcos con Geometría Dinámica se enmarca en un trabajo más amplio en el que se exploran las relaciones entre geometría y arte, que se puede encontrar en el portal colectivo del grupo G4D http://geometriadinamica.es/. Como equipo participamos en el Instituto GeoGebra de Cantabria http://www.geogebra.org/IGI/ y en el proyecto Intergeo de la Unión Europea http://www.inter2geo.eu/es entre cuyos objetivos se encuentra conseguir que los contenidos de geometría dinámica sean cada vez más accesibles, se utilicen con mayor frecuencia y se les pueda sacar mejor partido en la enseñanza de las matemáticas en Europa.

La idea de construir los arcos con geometría dinámica surgió de los trabajos de José Manuel Arranz que en su página web incluye una gran colección de diseños en su página de Internet http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/arcos/arcos.htm. En ella José Manuel nos presenta cada arco con la secuencia de trabajo para diseñarlo.

Aspectos técnicos de los arcos Un arco es un elemento utilizado en arquitectura para unir dos pilares o dos muros con piezas pequeñas. De esta forma podemos construir una edificación sobre un hueco: una casa, un puente o un acueducto. Aquí tienes las imágenes de algunos arcos obtenidos de Wikipedia: el Arco del Triunfo en París, el monasterio de las Huelgas en Burgos y La Pedrera en Barcelona, obra de Gaudí.
El problema que intenta resolver el arco es descargar el peso de la construcción cuando va a recaer sobre una zona hueca. Si no queremos que se rompa la edificación podemos diseñar una curva que haga que el peso se dirija hacia los laterales.
La Geometría Dinámica La idea de construir los arcos con geometría dinámica surgió de los trabajos de José Manuel Arranz que incluye una gran colección de diseños en su página de Internet http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/arcos/arcos.htm en la que nos presenta cada arco con la secuencia de trabajo para conseguirlo.

En este artículo se han seleccionado diez de aquellos diseños para los que se ha intentado disfrazar esa secuencia de instrucciones con una guía que quiere parecerse en cierto modo a las utilizadas para las construcciones de Lego. Es una especie de secuencia visual: partiendo de las piezas iniciales, nos acerca en pequeños saltos al resultado final.

El trabajo con arcos se enmarca en un trabajo más amplio de las relaciones entre geometría y arte que se puede encontrar en el portal colectivo geometriadinamica.es del grupo G4D. Como equipo participamos en el Instituto GeoGebra de Cantabria http://www.geogebra.org/IGI/ y en el proyecto de la UE Intergeo http://www.inter2geo.eu/es entre cuyos objetivos se encuentra conseguir que los contenidos de geometría dinámica sean cada vez más accesibles, se utilicen con mayor frecuencia y se les pueda sacar mejor partido en la enseñanza de las matemáticas en Europa.

Requisitos del sistema Esta sección usa applets de Java. Para poder visualizar e interactuar con las construcciones se necesita tener la plataforma de Java versión 6 (o superior) habilitada en el ordenador http://www.java.com/es/.
La construcción de arcos. En el applet tenemos el diseño de un arco ojival superpuesto a la imagen de la puerta de la iglesia de San Pantaleón en Cuenca. En la parte superior hay un deslizador llamado Construcción. Si movemos el punto lentamente de izquierda a derecha veremos que el arco se borra por completo y se inicia un proceso automático en el que van apareciendo progresivamente tanto el arco como los elementos auxiliares en los que se apoya su estructura. Más adelante se realizará la propuesta de construir diez arcos distintos en la pantalla del ordenador con las orientaciones del applet y la ayuda del navegador.

Hay un segundo deslizador designado por Distancia al vértice, que permite modificar el arco ojival para poderlo ajustar a otra puerta distinta en la que la inclinación de los arcos sea diferente. En los diseños se ha tenido la previsión de dejar algún elemento móvil (normalmente uno o dos puntos) que nos permita después modificar las curvas para que se puedan ajustar a otros arcos del mismo tipo, más o menos estilizados.

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