## El trabajo en clase

Se ha realizado la propuesta a dos grupos: uno de ellos seguía el primer curso de Estalmat (Estímulo del Talento Matemático) formado por alumnos de 1º y 2º de ESO de centros de la Comunidad Valenciana. Por otra parte, este material se experimentó con un grupo de la asignatura optativa de 3º de ESO Estructuras Espaciales en el IES San Blas de Alicante.

En ambos casos la presentación es la misma: los alumnos se encuentran con la secuencia animada a la izquierda que pretende sugerirles las instrucciones del arco y deben construirlo sobre la imagen de la derecha. En el transcurso del trabajo el profesor realiza algunas sugerencias de trabajo a la clase:

a) Al acabar el diseño geométrico, describe con palabras el proceso seguido.

b) En ciertas condiciones, unos arcos son casos particulares de otros, por ejemplo, si en el arco rebajado subimos el centro, terminará coincidiendo con el arco de medio punto. Encuentra casos parecidos de relaciones entre distintos arcos.

c) Investiga nuevos tipos de arcos utilizados en arquitectura que no han sido propuestos aquí.

Grupo Estalmat de la Comunidad Valenciana El grupo de Estalmat había recibido en enero de 2008 dos sesiones de hora y cuarto de duración en las que Francisco Jesús García y Jose Antonio Mora habíamos intentado mostrar las posibilidades del software de Geometría Dinamica mediante la resolución de algunos problemas geométricos y una pequeña investigación sobre mosaicos con polígonos regulares.

La tercera sesión se realizó en abril y se dedicó a la construcción de arcos. Se les presentó la colección de secuencias animadas de construcción de arcos y se les pedía el diseño de la curva y una breve explicación por escrito del trabajo realizado. El trabajo del profesor intentó ser de guía: proporcionar ayudas y en algunos casos sugerir ideas. El desarrollo de la clase fue muy animado, el problema surgió de la escasez de tiempo, al cabo de un cuarto de hora cuando estaba con algún grupo ya había más de media docena de manos pidiendo ayuda y en la mayoría de los casos intentando comunicar sus soluciones.

La mayoría de los grupos consiguió terminar los cinco primeros arcos y sólo algunos avanzaron algo más. Estas son algunas de las explicaciones que dieron, en algunos casos incompletas y en otros redundantes, pero todas muestran su interés por comunicar sus soluciones:

1. Medio punto (Juan José Puente y Emilio Sánchez). Hemos obtenido el punto medio de A y B. Después hemos hecho un arco desde B hasta A dado el punto O (centro)

2. Arco Rebajado (Marc Tomás y Juan A. Montesinos). Se traza el punto medio entre A y B. Luego se traza un punto a x distancia del punto O paralelo a los segmentos y se traza un semicírculo que pase por A y B.

3. Arco ojival (Marta Alonso y Oscar Roldán). Se obtienen los puntos medios de los extremos superiores y de los inferiores. Se traza la recta que pasa por esos puntos. Se selecciona el arco tomando el centro en un punto de esa línea y los extremos superiores son A y B.

4. Arco de herradura (Marc Monzó). Primero dibujamos una circunferencia con centro en O y radio en A. Hacemos la mediatriz, situamos un punto P sobre la intersección de la circunferencia y la mediatriz. Hacemos otra circunferencia con centro en P y radio en O. Obtenemos los puntos Q y Q’ de intersección de las dos circunferencias. Trazamos tres arcos: uno con centro en O y extremos en B y Q’, el segundo con centro en O y extremos en A y Q y el tercero con centro en P y extremos en Q y Q’

5. Arco apuntado (no puso su nombre pero es un genio del telegrama). Punto medio, triángulo equilátero, punto medio izquierda y derecha, arco desde extremos hasta el vértice y luego un triángulo igual haciendo lo mismo.

Grupo Estructuras Espaciales en el IES Sant Blai de Alicante. Un grupo de 3º de ESO en el IES Sant Blai que trabajaba dos horas semanales en una pequeña sala de ordenadores con conexión a Internet en grupos de tres alumnos. Habían aprendido a trabajar con programas de Geometría Dinámica durante varios meses. Antes de llegar a los arcos habían realizado varios proyectos que indagaron en temas como la construcción de mosaicos, el cubo Soma, el fractal de Sierpinski, el diseño de logotipos o el estudio de los misterios en el cuadro Las Meninas de Velázquez. Este grupo tenía mucha más destreza en el uso de GeoGebra y disponía de más tiempo para realizar los trabajos y redactar sus conclusiones.

A esta clase se le propuso la tarea añadida de detectar algún punto móvil y hacer la construcción se pudiera alterar dependiendo de él.

Uno de los grupos fue más lejos al incorporar a cada uno de sus diseños algún deslizador. Después hacían depender algunos de los elementos del arco de ese parámetro. Lo vemos en el trabajo de Irene, Yadira y Guillermo para el arco trebolado:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Irene Navarro, Yadira Reyes y Guillermo Beneyto. Creado con GeoGebra