5. Cabri Géomètre II para el tratamiento de la estadística.

En los nuevos curricula de matemáticas en secundaria se hace especial hincapié en la enseñanza de la Estadística, esto es actualmente posible gracias  a la tecnología que incorporan las calculadoras y los diferentes programas implementados en los ordenadores. Un ejemplo de la importancia del uso de la tecnología en la enseñanza de estos tópicos es la regresión, el uso de muchos datos lo más  reales posible hace que muchas veces parte del alumnado se quede en el algoritmo de construcción y no acabe de ver que es lo que hay detrás. Vamos a presentar un par de ejemplos de construcción geométrica de las rectas de mínimos cuadrados y mediana-mediana que hacen que se visualice el proceso de construcción y ayude al alumnado en la construcción de los conceptos para mejorar su comprensión.

Construcción de la recta de mínimos cuadrados:

a) Colocación de los puntos.

Crea una Nueva figura  y unos nuevos ejes y muestra la parrilla.

Mueve el origen de coordenadas de forma que la pantalla muestre el primer cuadrante.

Utiliza Puntos, para colocar sobre la parrilla de 6 a 10 puntos al azar. (Guarda la figura en un fichero aparte, así la podremos utilizar después). Ver Datos de regresión.

b) Recta y cuadrados.

Dibuja una recta que pase por un punto del eje y, utiliza Ecuación y coordenadas para visualizar la ecuación de la recta.

Usa Recta perpendicular para trazar rectas perpendiculares al eje x y que pasen por cada uno de los puntos.

Con Punto de intersección entre dos objetos, marca los puntos de intersección de las perpendiculares con la recta que has dibujado antes. Oculta las rectas perpendiculares y dibuja los Segmentos que unen los puntos que representan los datos con las intersecciones en la recta (residuos).

Crea una Macro que construya un cuadrado de lado los segmentos y mida su área

Construye todos los cuadrados asociados a los segmentos.

Con la Calculadora obtenemos la suma todas las áreas.

Mueve el punto de corte de la recta con el eje y modifica la pendiente de la recta hasta que la suma de las áreas sea mínima.

La recta obtenida es la recta de mínimos cuadrados (1)

c) La recta pasa por el punto (media x, media y)

Como la ecuación de la recta de regresión de mínimos cuadrados es:

, podemos deducir que ésta pasa por el punto (media de las x, media de las y), por lo que vamos a trasladar el punto de paso de la recta de (0, b) al (media de las  x, media de las  y).

Con la Calculadora obtén la media de las abcisas (x) y de las ordenadas (y).

Con Transferencia de medidas, sobre el eje correspondiente, marca el punto de la media de las x y de la media de las y.

Traza la perpendiculares correspondientes y señala el punto de intersección (media de las x, media de las y).

Con Redefinir objeto mueve el punto de corte con el eje y (b) hasta el punto (media de las x, media de las y).

Ahora sólo queda modificar la pendiente de la recta para conseguir la recta de mínimos cuadrados (2).

La recta mediana-mediana.

La Geometría y el Álgebra se unen en una técnica de análisis de datos que se llama recta mediana-mediana.

Esta recta de regresión utiliza el concepto de mediana en lugar del de media de los datos que se usa en la recta de mínimos cuadrados. A la recta mediana-mediana también se la conoce como recta resistente, porque no se ve afectada por datos "extraños" (muy alejados de la media) como lo estaría la recta de mínimos cuadrados. Esta diferencia es el resultado de utilizar la mediana en lugar de la media. El objetivo de la recta mediana-mediana, como el de otros modelos de ajuste, es el de representar la tendencia de los datos mediante una recta. Una vez calculada la ecuación de esta recta, podemos dibujarla, justificar la relación y hacer predicciones sobre las variables.

Construcción de la recta mediana-mediana

Recupera la figura de  datos de la actividad anterior.

Haz tres grupos homogéneos y sepáralos mediante rectas perpendiculares al eje X, si hay un múltiplo de 3 +1 datos, deja el grupo del medio cun un dato más, si hay un múltiplo de 3 + 2 datos , deja el grupo del medio con un dato menos.

Calcula y representa, mediante la intersección de perpendiculares a los ejes, las medianas de los tres grupos.

Dibuja un triángulo de vértices las tres medianas y halla su baricentro (intersección de las medianas).

Dibuja la recta que pasa por el baricentro y es paralela al segmento  que une la mediana del primer grupo con la del tercero.

Mediante la opción ecuación y coordenadas, muestra la ecuación de la recta.

La recta resultante es la recta mediana-mediana o resistente.