1. El gato elevador.

El gato elevador está formado por tres barras articuladas que forman un triángulo, en el que la base es de longitud variable y los otros dos lados tienen longitud fija. Cuando alargamos o acortamos la base, hacemos que el tercer vértice se sitúe a distintas alturas:

Las construcciones geométricas admiten multitud de enfoques y grados de aproximación y profundización. Lo que vamos a construir es un triángulo articulado con dos varillas de longitud fija y una tercera que se pueda alargar o acortar. Si hacemos la construcción con tiras de cartulina, nuestra preocupación será estudiar la forma de hacer las uniones o la forma de conseguir una varilla extensible.

Cuando la herramienta es un programa de ordenador que utiliza puntos, segmentos, polígonos, etc., hay que revisar las relaciones entre los objetos que se relacionan en el sistema para captar los elementos básicos que lo hacen funcionar. El triángulo puede ser visto desde los vértices: uno de ellos será fijo, otro desplazarse por un segmento y el tercero vendrá determinado por los dos segmentos de longitud marcada de antemano y que cada uno de ellos tiene un extremo sobre uno de los puntos dibujados.

Para esta primera construcción es conveniente que dibujemos previamente las dos varillas de longitud fija AB y BC , un punto A que será fijo y otro C que se puede desplazar –en principio -, sobre una recta que pasa por A.

Para obtener la posición del tercer vértice, Cabri II dispone de la herramienta Compás: dado un segmento AB y un punto A, permite dibujar la circunferencia de centro en A y radio AB, e igualmente, se traza la circunferencia de radio CB con centro en C. El punto B será cualquiera de los dos puntos de intersección de estas circunferencias. Podemos desplazar C a lo largo de la semirecta para obtener los posibles triángulos:

Para investigar la construcción: modificamos las longitudes de los segmentos o la posición de algunos de los puntos que le han servido de base. Aquí empiezan los problemas, porque nos encontraremos con situaciones en las que el triángulo no existe, el motivo es que las circunferencias no tienen intersección.

Nos replantearnos la situación para estudiar el conjunto de posiciones sobre las que se puede mover C, para que el triángulo pueda ser construido, es decir, cuando AC está entre AB-BC y AB+BC. 

Medimos los segmentos y calculamos la suma y la diferencia de esas longitudes para después transferir esas medidas a la semirrecta a partir del punto A.. Esto nos da dos puntos: X e Y que serán los extremos del segmento sobre el que queremos que se desplace libremente C. Ahora no tenemos más que redefinir el punto C para que, en lugar de pertenecer a la semirrecta, esté situado en el segmento XY.

Como se ha visto anteriormente, en el gato elevador los desplazamientos horizontales del punto C consiguen que B se sitúe a diferentes alturas. Es más, podemos alargar el segmento BC, y situar sobre él diferentes puntos de apoyo para estudiar las distintas trayectorias que siguen esos puntos, cuando C se desplaza sobre el segmento. En el dibujo de la parte superior se ha dejado la traza activada de los cuatro puntos marcados sobre el segmento, para analizar los distintos caminos que seguirán. Otra forma de hacerlo sería con la herramienta Lugar Geométrico –el dibujo inferior-, que es especialmente interesante porque los lugares geométricos se transforman automáticamente cuando modificamos las longitudes iniciales de los segmentos, algo que no ocurre con el rastro que deja la traza cuando está activada.

El triángulo de base variable.  (110triva)

Triángulo articulado con dos lados de longitud fija AB y BC y otro variable AC.

Se acciona al mover C en el segmento XY. Podemos observar la altura del triángulo en B.

El gato elevador (120gato)

Cuando desplazamos el punto C de un lado a otro, es decir, modificamos la base del triángulo, conseguimos que la altura varíe, con lo que puede ser utilizado como elevador.

Mover P entre X e Y y dejar el trazo de Q, Q’, Q’’ y Q’’’

La hamaca. (130hamac)

El triángulo PQR con el lado PR de longitud variable hace que la hamaca se abra o se cierre.

Desplazar P sobre el segmento XY marcado.

La puerta levadiza. (140ptale)

Se basa en el triángulo PQS con el lado PS de longitud variable. Conseguimos que la puerta se eleve modificando la altura del punto P y con ello la inclinación del segmento PQ.

El mecanismo de apertura de la puerta levadiza para el acceso a muchos garajes utiliza una nueva visión del triángulo de base variable: ahora la base del triángulo se coloca en posición vertical. La posición de C en el segmento XY determinará  la mayor o menor inclinación del segmento BC, que hará que la puerta se abra al quedar horizontal, o se cierre al alejarse C de A, y quedar la puerta vertical para que se cierre.