2. La máquina de vapor.
Uno de los ejemplos tradicionales de la relación entre el movimiento de rotación con el desplazamiento en vaivén lo constituye el funcionamiento de la máquina de vapor. Aquí tenemos un triángulo de base variable: cuando B gira alrededor de A, la biela BC transfiere el movimiento a un émbolo, que se mueve por el interior de un cilindro.
En la realidad, el punto impulsor es C y su movimiento de vaivén se traduce en un movimiento de rotación de B alrededor de A, pero esta construcción presenta algunos problemas en Cabri y se ha optado por la contraria.
Para analizar el modelo de la máquina de vapor, en lugar de situar el punto C sobre un segmento XY, como en la construcción del gato elevador, hacemos que el grado de libertad del sistema recaiga sobre el punto B. La condición que debemos imponer a este punto es distinta a la construcción del gato.
Como
el segmento AB tiene longitud fija, B ha de ser un punto situado sobre la
circunferencia de centro A y
radio AB. Para situar la otra varilla de longitud fija debemos hacer un
nuevo compás de centro B y radio BC, de esta manera tendremos una
circunferencia que corta a la semirecta en el punto C.
El triángulo de base variable tendrá ahora otra apariencia; un punto B gira alrededor de A e impulsa una biela, uno de cuyos extremos es obligado a moverse por una línea recta.
El punto C es el que debe arrastrar consigo el rectángulo que simula el pistón. Uno de los lados del triángulo estará situado sobre la recta perpendicular al segmento AC que pasa por C, tomamos dos puntos de esa recta D y D’ que estén a la misma distancia de C que serán dos vértices y trazamos dos rectas paralelas a AC que pasen por ellos.
Dibujamos después dos circunferencias del mismo radio DE con centro en D y D’, y los puntos de corte con las últimas rectas dibujadas nos determinan los dos vértices E y E’ del rectángulo.
Para acabar, trazamos el polígono DEE’D’, ocultamos las líneas auxiliares e introducimos algunos elementos de presentación para que el resultado sea lo más realista posible.
El
diseño de la máquina de vapor es útil para profundizar en conceptos
matemáticos, como la medida de ángulos y las funciones trigonométricas.
Con un punto, que gira alrededor de una circunferencia de radio unidad, es
sencillo dibujar la función seno como la medida de la distancia del punto
al eje de abscisas.
Podemos utilizar el sistema biela-manivela de la construcción del motor de explosión con Cabri II para estudiar la altura que alcanza el émbolo en el cilindro, y construir la gráfica que determina la posición de este punto cuando da una vuelta completa. Es interesante comparar esta gráfica con la función seno, veremos que hay pequeñas diferencias, algunas de ellas vienen marcadas por detalles que no son fáciles de detectar: la construcción realizada hace que tarde más en ir de derecha a izquierda por la parte de arriba que al revés, consecuencia de esto es que la gráfica que indica la posición del cilindro –en azul- esté por encima de la del seno, excepto en dos puntos: pi/2 y 2pi/3 que son los únicos en los que ambas coinciden.
La
máquina de vapor (1).
(210vapor)
Un punto B gira alrededor de A mientras la biela BC transfiere este movimiento al punto C que está situado sobre una recta que pasa por A, y arrastra consigo al pistón por el interior del cilindro.
La
máquina de vapor (2).
(220vapor)
Igual que el anterior situado en posición horizontal.
La
máquina de vapor y la función seno.
(230sinex)
Esta construcción sirve para comparar la gráfica de la función seno con la que determina la posición del pistón dentro del cilindro.
El
hinchador.
(240hinch)
El triángulo de base variable se acciona con una palanca desde el punto P. Con ella conseguimos acortar la longitud del segmento BC para que expulse el aire del interior del cilindro.
Cilindro
giratorio.
(250cilgi)
El
triángulo ABC con BC de longitud variable se acciona mediante la manivela
AC.
Cuando C gira, obliga al pistón a desplazarse por el interior del cilindro a la vez que gira.
Aguja
en la máquina de coser.
(260maqco)
Con un funcionamiento muy parecido a la máquina de vapor, conseguimos el movimiento arriba-abajo de la aguja en la máquina de coser
La
máquina de coser a pedal.
(270cospe)
PQ
hace pedal que bascula alrededor de O. La biela transfiere este movimiento
a la rotación de un punto alrededor de una circunferencia.
La
palanca acodada.
(280palco)
Tiene un funcionamiento muy parecido al hinchador. En este caso se aprovecha el hecho de que, cuando P está próximo a X, sus desplazamientos se convierten en movimientos muy pequeños de B, con lo que será más fácil conseguir que la barra se introduzca por el interior de un pasador.
El
cubo de basura.
(290cubas)
Al
bajar P en el pequeño arco marcado, hacemos que B bascule con él
alrededor de A. La barra BC está articulada de forma que pase por R.
Cuando B se eleve, C presionará sobre la tapa para abrirla.
De la misma forma, cuando dejemos de presionar sobre P, la tapa caerá sobre C y se producirá el movimiento al contrario.
Este último triángulo situado en el mecanismo a pedal de apertura de la tapadera del cubo de basura, es uno de los más difíciles de ver, porque el triángulo se encuentra oculto dentro del armazón. El diseño se ha realizado tomando como base el triángulo ABC con un lado AC de longitud variable. El pedal se baja en P, punto que se mueve sobre un pequeño arco y hace balancear una barra con punto fijo en A para que B suba y eleve consigo una barra que es obligada a pasar por el punto R. En C contacta con la tapa del cubo que gira alrededor del punto fijo O y la levanta.