9. Engranajes y correas de transmisión.
La utilización de engranajes y ruedas dentadas tiene más de dos mil años. En el siglo XV Leonardo da Vinci realizó diseños de engranajes y un prototipo de bicicleta.
Actualmente engranajes y correas de transmisión están presentes en muchas actividades: poleas y polipastos para elevar cargas pesadas, y en todo tipo de sistemas para el cambio de marchas, que facilite la transmisión del movimiento.
El diseño de poleas con un programa de ordenador ha de estudiar la forma de trasladar a las imágenes el problema físico-matemático del factor de transmisión. En el caso más sencillo tenemos dos ruedas conectadas por una correa. La cantidad de vueltas que da una respecto de la otra depende únicamente de las longitudes de esas circunferencias o, lo que es lo mismo, de sus radios. En la figura, cuando la rueda de la izquierda dé dos vueltas, la de la derecha habrá dado 3.
Cabri-Geomètre, como lenguaje de programación, pone a nuestro alcance una serie de herramientas, que facilitan ciertas construcciones, por ejemplo, permite introducir elementos en la construcción, que hagan que el diseño pueda ser manipulado e introducir una cierta forma de interactividad.
Para conseguir que las circunferencias no sean estáticas, podemos dibujar dos segmentos a un lado que serán los que servirán como radio para la herramienta compás. Después no tendremos más que “estirar” de los extremos de los segmentos para que las circunferencias cambien de tamaño.
Construidas las ruedas, ahora tenemos que diseñar las correas que transmiten el movimiento de una a otra. Las tangentes a dos circunferencias necesitan que resolvamos el problema previo de las tangentes a una circunferencia por un punto. La solución viene al considerar la idea de arco capaz en la circunferencia, que tiene por centro el punto medio entre el centro de la circunferencia y el punto P. Si el ángulo es de 90º, la recta será perpendicular al radio de la circunferencia.
Para el caso que nos ocupa con dos circunferencias, consideramos la tangente desde el centro de la circunferencia, más pequeña a la circunferencia que tiene por centro el de la grande, y por radio la diferencia de los radios. Trazamos la tangente desde el punto a la nueva circunferencia, y después dibujaremos las paralelas a estas, que sean tangentes a las dos circunferencias originales. Ahora podemos variar los radios de las circunferencias o la posición de los centros para ver lo que ocurre.
Por el procedimiento seguido para realizar la construcción, es preciso tener en cuenta que será válida siempre y cuando la circunferencia grande siga siendo mayor que la otra. Otro caso singular se da cuando una de las circunferencias está en el interior de la otra. Una vez realizadas estas construcciones, han de ser utilizadas en los diseños para unir dos, tres o cuatro circunferencias, en lugar de repetir el procedimiento, construimos una macro que tenga:
Objetos
iniciales:
las dos circunferencias.
Objetos
finales:
los dos segmentos situados sobre las tangentes que tienen por extremos los
puntos de contacto con las circunferencias.
Definir macro: escribir un nombre y guardarlo.
Aunque sólo sea una cuestión de presentación para facilitar el análisis posterior de los estudiantes, ahora podemos dibujar los arcos tomando los puntos de tangencia, para que los lugares por donde pasa la correa se vean del mismo color y lograr así un efecto más realista.
Ahora sólo nos queda realizar la simulación del movimiento de las ruedas con dos radios móviles que realicen el movimiento de rotación, para que el movimiento aparente de una respecto de la otra se parezca a la realidad, podemos tomar un punto que gire en una de las circunferencias, y transferir ese movimiento a la otra, pero esto acarrea gran cantidad de problemas. Una solución mejor consiste en tomar un punto que se pueda mover sobre un segmento, y transferir la distancia entre ese punto y uno de los extremos a las dos circunferencias a partir de los puntos C y D.
Dos dificultades adicionales que han surgido en los diseños de este capítulo son:
El caso de las circunferencias concéntricas de diferentes radios, que se mueven solidariamente y cada una de ellas está unida otras
El desplazamiento de las poleas móviles en los polipastos hace que la misma circunferencia se desplace hacia arriba o abajo a la vez que gira.
Se han realizado cuatro diseños de transmisión con correas de complejidad creciente, la reconstrucción de una máquina de hilar para ver la utilidad de la transmisión inversa y la aplicación de las ruedas a un coche de juguete. Más adelante se introduce el problema de la elevación de pesos mediante poleas y polipastos que facilitan el traslado de cargas pesadas y, por último, se muestran dos diseños de la transmisión en la bicicleta en las que el cambio de marchas se hace de forma continua: mediante el alargamiento de los radios del plato y del piñón.
Transmisión
directa.
(910trand)
Dos
ruedas están conectadas por una correa. El factor de transmisión se
obtiene como el cociente entre los radios. Cada vez que la rueda grande dé
una vuelta completa, la pequeña dará OA’/OA vueltas.
Inversión
del movimiento.
(920trani)
Como el anterior, pero la posición de las correas invierte el sentido de giro.
Composición
1.
(930tran3)
En
este sistema hay dos ruedas que se mueven de forma solidaria.
En el diseño podemos variar los radios de todas las circunferencias y estudiar los factores de transmisión.
Composición
2.
(940tran4)
En este sistema podemos analizar el sentido de giro de cada rueda y, como en los anteriores, modificar los radios para estudiar los factores de transmisión.
Reproducción
esquemática de una máquina de hilar del museo del cáñamo de Callosa de
Segura. Alicante.
Las tres ruedas de la izquierda van enrollando hilos de cáñamo. Después estas tres cuerdas se introducen en la de la derecha para que los enrolle en sentido contrario.
Juguete
móvil.
(950jugue)
Compuesto
por dos poleas fijas (con centro en A y B) y dos que se mueven con el
cochecito.
El sistema se acciona al mover el punto P a izquierda y derecha.
Polipasto
2 poleas.
(960poli2)
Cuando bajamos el punto P dos metros, el peso que colgamos en el gancho Q sólo subira un metro (se recogerá un metro de cuerda por cada lado). Esto nos permitirá subir el doble de peso.
Polipasto
3 poleas.
(970poli3)
Está
formado por dos poleas fijas (N y N’) y una móvil (M).
Ahora hace falta estirar tres metros de cuerda en P para que el peso situado en Q suba uno.
Polipasto
4 poleas.
(980poli4)
Está
formado por cuatro poleas, dos fijas (A y C) y dos móviles (B y D).
Tendremos que estirar cuatro metros para subir uno, ya que se recogerá un metro por cada una de las cuerdas que bajan.
La
transmisión en la bicicleta.
(990bicic)
Para estudiar la transmisión podemos modificar el radio del plato y el del piñón y ver la relación entre el movimiento del pedal y el de la rueda.
Bicicleta
2.
(995bici2)
Este
sistema ya admite giros completos del pedal.
Además
de los radios del plato y el piñón, también se permite modificar el
radio de la rueda. Para unos
valores determinados, se realiza el cálculo de la longitud que avanzamos
al dar una pedalada completa.