Desde muy antiguo los humanos supieron que el perímetro de las figuras redondas era proporcional a su diámetro. El valor exacto de esa constante (el número $ \pi $) que se obtiene al dividir el perímetro entre el diámetro de una circunferencia no es conocido desde tan antiguo, pero sí que los científicos de todas las culturas de la Antigüedad se esforzaron por encontrar las mejores aproximaciones posibles.

El genial matemático griego Arquímedes, en el siglo III a. C. fue capaz de acotar el valor exacto de $ \pi $ en un intervalo extraordinariamente pequeño. Para ello empleó un ingenioso método reflejado en la construcción geométrica de la siguiente aplicación.

En esta actividad estudiaremos el error relativo correspondiente a los valores obtenidos por Arquímedes durante su ingenioso proceso basado en el cálculo de los perímetros de sucesivas polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circunferencia.

Usa la aplicación y responde:

1. Observa la figura inicial y describe lo que en ella aparece. Justifica (activa la "Ayuda" si lo necesitas) cuál es el valor del perímetro del hexágono inscrito y que éste es menor que el número $ \pi $.

2. Activa la casilla para ver también el hexágono circunscrito. La aplicación facilita el perímetro de este hexágono y, a partir de él una aproximación al número $ \pi $. Comprueba que esos tres valores (la aproximación, el error absoluto y el relativo) son correctos y explica los cálculos necesarios para obtenerlos a partir de los dos perímetros que acotan el valor de $ \pi $.

3. Haz que se muestren los "triángulos de apoyo" y piensa cómo pudo Arquímedes obtener el valor del perímetro del hexágono circunscrito a partir del diámetro de la circunferencia (que es 1).

4. Arquímedes repitió un proceso análogo al empleado con los hexágonos para polígonos regulares de 12, 24, 48 y 96 lados. Explica qué se consigue con los datos referidos a cada nuevo par de polígonos.

5. Este método fue posteriormente imitado a lo largo de la historia para la resolución de otros muchos problemas. Pero el mérito de Arquímedes no se redujo a su ingenioso método (llamado método exhaustivo): naturalmente, en la antigua Grecia no se disponía de calculadoras y el trabajo que suponían los cálculos necesarios para llegar hasta ese polígono regular de 96 lados tuvieron que ser muy costosos. Máxime si se tiene en cuenta que en aquella época no se conocían ni los actuales números arábigos ni los decimales. Arquímedes trabajo con fracciones y los valores con los que acotó el número $ \pi $ en realidad fueron (en notación moderna) 223/71 y 22/7.
   
   Calcula el error relativo correspondiente a esa aproximación al número $ \pi $ lograda por Arquímedes.