Bajo determinadas condiciones, una distribución binomial Bin(n,p) se puede aproximar mediante la distribución normal N(np, ), donde q=1-p, es decir, mediante una distribución normal que tiene la misma media y la misma desviación típica que la distribución binomial. Sin embargo, al hacerlo hemos de tener en cuenta que estamos utilizando una distribución de variable continua para ajustar una distribución de variable discreta. En una distribución de variable continua, P(X=k)=0, de modo que si utilizamos la distribución normal para calcular la probabilidad de que la variable tome exactamente un determinado valor, es necesario hacer una corrección en el proceso. Así, si Y es una distribución binomial Bin(n,p), que se aproxima por una normal X ∼ N(np, ), se debe tener en cuenta que:

En el resto de situaciones, al aplicar la corrección por continuidad, se debe tener en cuenta que:

P(Y≤k) ≈ P(X ≤ k+0,5)           P(Y<k) ≈ P(X ≤ k−0,5)

P(Y≥k) ≈ P(X ≥ k−0,5)           P(Y>k) ≈ P(X ≥ k+0,5)

En esta aplicación deberás utilizar la Calculadora de probabilidades de GeoGebra para resolver algunos problemas de distribuciones binomiales, aproximando mediante una distribución normal y teniendo en cuenta, en su caso, la corrección de continuidad. Además podremos comparar el valor aproximado mediante la distribución normal con el obtenido directamente con la distribución binomial y así valorar la bondad de la aproximación.

En cada uno de los problemas que siguen:

• Define la distribución binomial que corresponde a la situación planteada y halla su media y su desviación típica.
• Determina la distribución normal que tendremos que utilizar para el cálculo aproximado.
• Efectúa la corrección de continuidad y define las probabilidades que debes calcular mediante la distribución normal. Halla su valor utilizando la Calculadora de Probabilidades de GeoGebra.
• Cambia ahora el modelo de distribución en la Calculadora de probabilidades: selecciona la distribución binomial. Halla ahora el valor de las probabilidades utilizando el modelo binomial.
• Compara los resultados obtenidos y valora la bondad de la aproximación realizada mediante la distribución normal.

Usa la aplicación y responde:

1. Un jugador de baloncesto, en concursos de triples, encesta el 70 % de sus lanzamientos. Si en un concurso debe efectuar 20 lanzamientos desde la línea de 3 puntos, ¿cuál es la probabilidad de que acierte al menos 17 canastas?

2. El 40 % de las personas empadronadas en una ciudad viven en urbanizaciones alejadas del centro. De una muestra de 1500 personas, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 500 vivan en dichas urbanizaciones?

3. En una población, el 45 % de las personas adultas se declara consumidora de café. Si en dicha población elegimos una muestra de 250 personas adultas, calcula la probabilidad de que más de la mitad tomen café.

4. El primer examen de una oposición es un test que consta de una batería de 100 preguntas, cada una de las cuales tiene 5 posibles respuestas de las que solo una es correcta. Si una persona responde al azar, calcula la probabilidad de que acierte al menos 25 preguntas.

5. En el control de calidad de artículos manufacturados, se estima que el 12 % de los artículos tiene algún defecto. Si se examinan 60 artículos al azar, calcula la probabilidad de que no se obtendrá más de un artículo defectuoso.

6. Según los datos del organismo correspondiente el 80 % de los incendios que se producen en la época de calor son provocados. Si este verano se han producido 150 incendios en una determinada región, calcula la probabilidad de que

7. Una vacuna produce una reacción adversa en el 10 % de los casos. Calcula la probabilidad de que en una campaña de vacunación realizada a 1000 personas,