Si la razón de una progresión geométrica {a₁, a₂, a₃...} es mayor que 0 y menor que 1, la suma de sus infinitos términos es un valor finito e igual a a₁/(1r).

Por ejemplo, si r = 1/10, la suma 3 + 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... = 3·(1+0.1+0.01+0.001+...) = 3·1.1111... = 3/9

Esta aplicación te ayudará a visualizar este resultado para cualquier valor de r entre 0 y 1. Como el primer término multiplica a todos los términos de la progresión, se puede sacar factor común, como en el ejemplo anterior. Así que basta demostrar que:

1 + r + r² + r³ + ... = 1/(1r)

Para favorecer la visualización, no varíes en principio el valor del deslizador r, cuyo valor inicial es 0.5.

Usa la aplicación y responde:

1. Trazamos la recta y = r x + 1 para ver su intersección con la recta y = x (puedes activar las casillas correspondientes para verlas). Resuelve el sistema formado por estas dos ecuaciones para hallar el punto de corte de ambas rectas, en función de r, y comprueba que sus coordenadas coinciden con las del punto S en la aplicación.

2. Ahora bien, la ordenada de S es la suma de infinitos segmentos verticales a₁, a₂, a₃... cuyos valores sucesivos son:

a₁ = 1,   a₂ = r,   a₃ = r²,   a₄ = r³...  

Compruébalo avanzando el deslizador n de uno en uno (ayúdate de las teclas flecha). Observa que la diferencia de ordenadas entre los puntos A y B son las sucesivas potencias de r:

Observa también que los valores de las potencias de r disminuyen tan rápidamente que a los pocos pasos la aplicación, que solo permite visualizar dos decimales, los redondea a 0.

3. Por tanto 1 + r + r² + r³ + ... es igual a la ordenada de S, que es 1/(1r), como se quería demostrar. Mueve el deslizador a otras posiciones de r para comprobar que la construcción no depende de su valor. Observa que para valores cercanos a 0 o a 1, la visualización se vuelve difícil, aunque la construcción no varíe en ningún momento.