División de un polinomio por (x-a)

La ventana izquierda dispone de un conjunto de botones y deslizadores que te permiten introducir los coeficientes de un polinomio, como máximo de grado 5. El grado puede ser menor si los coeficientes de mayor grado son cero. También colocamos el valor de a para dividir por x–a. Al principio P(x)=x34x2+3x y el divisor es (x–2). Más adelante podrás modificar los valores.

La aplicación realiza la división P(x):(x–a) utilizando la regla de Ruffini: obtenemos el cociente y el resto de la división y también dos expresiones algebraicas, la que muestra la igualdad Dividendo=Divisor·Cociente+Resto y la que expresa la división como suma del cociente y el resto entre el divisor.

En la ventana derecha tenemos las gráficas de tres funciones:

  • y=P(x) el dividendo es una función polinómica en color morado.

  • y=xa es una recta de pendiente 1 y corta al eje de ordenada en (0,a) en color verde y línea de puntos.

  • El cociente se ha representado con una curva de color rojo y de puntos. También es una función polinómica un grado inferior al dividendo.

Las gráficas te proporcionan una comprobación visual del teorema del resto: el resto de la división coincide con P(a).

Usa la aplicación y responde:

  1. Coloca varios ejemplos para comprobar gráficamente que los valores de a que hacen que la división exacta son aquellos en los que tanto la función polinómica como la recta se anulan, es decir, P(a)=0.

  2. Coloca los coeficientes del polinomio y en el valor de a para que el resto sea 0, por ejemplo P(x)=x3-3x2+2x y prueba con varios valores enteros de a. Observa qué es lo que ocurre con los puntos de corte de las tres gráficas (polinomio, divisor y cociente).

  3. Pon otros ejemplos de divisiones de polinomios entre x–a. Investiga lo que ocurre con la coincidencia entre los puntos de corte de las tres funciones estudiadas. ¿Qué tiene que ocurrir para que las tres funciones tengan un mismo punto de corte con el eje de abscisas. Busca explicaciones para esas coincidencias.