Función polinómica a partir de sus raíces

Hay muchas funciones polinómicas que cortan al eje de abscisas en x=1, la más sencilla es la recta P(x)=x1.

Si queremos un polinomio que corteen x=1 y en x=3, podemos construir el polinomio P(x)=(x1)(x3). Al desarrollamos el producto obtendremos una expresión de segundo grado (x2–4x+3) cuya gráfica es una parábola que corta al eje de abscisas en dos puntos: x=1 y x=3.

De esta forma podemos conseguir una función polinómica que corte en los puntos que deseemos. Los valores como 1 y 3 que hacen que un polinomio se anule se llaman raíces del polinomio.

Con esta aplicación podrás construir funciones polinómicas que corten al eje de abscisas en un máximo de cinco puntos.

Con el deslizador indicas la cantidad de raíces que tendrá el polinomio. La aplicación desplegará u ocultará nuevos deslizadores como éste debajo del anterior con los que podrás colocar las raíces del polinomio.

El primer deslizador es a0 (negro) solo toma valores 1 y 1 y multiplica al resto de factores del polinomio. El efecto sobre los coeficientes de la expresión polinómica consiste en dejarlos como están cuando es igual a 1 o que todos los coeficientes cambien de signo si vale 1.

Los deslizadores con distintos colores empiezan con a1 y te permiten colocar las raíces del polinomio hasta el grado que has indicado.

En la parte inferior de la ventana izquierda tienes dos expresiones para el polinomio: la primera como producto de factores y la segunda con los coeficientes de las potencias de x.

En la parte superior tienes dos botones: si Raíces enteras está activado, los deslizadores solo tomarán valores enteros entre 5 y 5. Si presionas sobre Raíces decimales, los botones aumentan o disminuyen 0,1 con cada pulsación. Haz algunas pruebas y observa el funcionamiento de la aplicación.

En la ventana derecha tienes la gráfica de la función polinómica y un punto A con el que puedes recorrer el eje de abscisas. Ese valor de x y P(x) determinan un punto sobre la curva. Comprueba con algunos ejemplos que el valor de la ordenada coincide con el que obtienes al sustituir la x en el polinomio tanto en su forma factorizada como en la expresada en forma de potencias.

Usa la aplicación y responde:

  1. Esta aplicación nos proporciona un método para resolver ecuaciones de cualquier grado del tipo P(x)=0 en la que intervenga un polinomio que se pueda descomponer en factores. La obtención de las soluciones de la ecuación se podrá realizar resolviendo varias ecuaciones más sencillas sin más que igualar a cero cada uno de los factores. Coloca algunos ejemplos y aplica esta forma de resolver ecuaciones.

  2. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que se repite. Puedes hacer que una raíz tenga multiplicidad 2, 3 o más si la repites con los deslizadores desde a1 hasta a5. ¿Cómo relacionas la multiplicidad de una raíz con el hecho de que la gráfica atraviese el eje o solo lo toque tangencialmente en ese punto?

  3. Introduce las raíces con los deslizadores para que su expresión polinómica solo tenga coeficientes en las potencias 3 y 4 de x.

  4. ¿Será posible obtener un polinomio que solo tenga coeficientes de grados 0 y 2? ¿Y un polinomio que únicamente tenga coeficientes de grados 1 y 3? ¿Cómo es la gráfica en cada uno de los dos casos?

  5. Cuando cambias el valor del coeficiente a0 es decir, cuando pasa de valer 1 a –1 (y al contrario, de 1 a 1). ¿Qué efectos produce en la expresión algebraica? ¿Qué ocurre en la gráfica?