Una función real de variable real f es una regla que asigna a cada número x de un subconjunto de ℛ un único número real y. Se escribe y=f(x). Decimos que y es la imagen de x por f. El subconjunto de números reales x para los que la función está definida se llama dominio de f, D(f). Los valores y que toma f forman un subconjunto llamado imagen o recorrido de f, Im(f).

El dominio de una determinada función puede verse restringido por varias razones:

• No poder realizar alguna operación para ciertos valores de la variable independiente, por ejemplo, la raíz cuadrada de un número negativo o un denominador que se anula.

• La propia definición de la función o el contexto real en el que se utiliza. Por ejemplo, para la función M, que expresa el importe de la factura de la luz en función del consumo, es D(M)=[0, +∞], ya que el consumo no puede ser negativo y, a priori, no está limitado.

En esta aplicación vamos a hallar el dominio y el recorrido o imagen de algunas funciones. La casilla de entrada situada en la parte inferior izquierda te permitirá introducir la expresión algebraica de la función que se trata de analizar. Inicialmente la función que se muestra es la siguiente:$$ f(x)=\sqrt{x+1}-1 $$

Con los botones  y  puedes ajustar los límites de la ventana para apreciar mejor el comportamiento de la función. También se muestra un punto P sobre la gráfica de la función, que puedes desplazar libremente sobre la misma.

Usa la aplicación y responde:

1. Analiza la expresión algebraica de la función f y observa también su gráfica. ¿Está definida la función para x=-2? ¿Por qué? ¿Y en x=4?
2. ¿Qué valores puede tomar x para que se pueda calcular el valor de f? ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Se corresponde con la información que te proporciona su gráfica?
3. ¿Qué valor debe tomar x para que el valor de la función sea -1? ¿Y para que valga -3? ¿Existe algún valor de x para el que la función tome valores menores que -1? ¿Por qué?
4. ¿Qué ocurre con los valores de la función cuando x toma valores cada vez mayores? ¿Cuál es el recorrido de la función f? ¿Se corresponde con lo que observas en su gráfica?
5. Repite ahora el proceso para encontrar el dominio y el recorrido o imagen de las funciones que se proponen más abajo. Observa que en cada ejercicio se indica la expresión que debes escribir en la casilla de entrada (pulsando a continuación la tecla INTRO) para introducir cada una de las funciones
1. Escribe: x^2+3x para introducir la función: $$ f(x)=x^{2}+3x $$
2. 2+sqrt(x-3) para introducir la función: $$ f(x)=2+\sqrt{x-3} $$
3. (x^2-9)/(x-2) para introducir la función: $$ f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-2} $$
4. (x^2-1)/5 para introducir la función: $$ f(x)=\frac{x^{2}-1}{5} $$
5. sqrt(x+2)/(x^2+4) para introducir la función: $$ f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^{2}+4} $$
6. (x-2)/(x^2+2x-3) para introducir la función: $$ f(x)=\frac{x-2}{x^{2}+2x-3} $$
7. sqrt(1-3x)/x para introducir la función: $$ f(x)=\frac{\sqrt{1-3x}}{x} $$