Se llama tasa de variación media (TVM) de la función f en el intervalo [a,b] al cociente:$$ TVM f[a,b]=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$ Desde un punto de vista geométrico, es la pendiente de la recta secante a la función en los extremos del intervalo.

Sin embargo, a veces resulta insuficiente esta información, porque necesitamos conocer el ritmo de variación de un modo más preciso. De nada nos sirve conocer que la velocidad media a la que ha circulado un coche en un tramo de autopista ha sido de 110 km/h para poder determinar con certeza si en algún punto de ese trayecto ha sobrepasado la velocidad máxima permitida, que es de 120 km/h. De modo que es muy habitual encontrar situaciones en las que lo que necesitamos es la variación instantánea de la función, es decir, el ritmo de variación de la función para un valor determinado de la variable: la velocidad en un instante determinado, la aceleración en un momento concreto, etc.

 En esta aplicación partiremos de esa consideración y analizaremos qué ocurre con la TVM cuando vamos reduciendo la amplitud del intervalo. Encontraremos así una forma de medir el ritmo de cambio de la función en un punto: obtendremos la tasa de variación instantánea de la función en dicho punto.

En esta aplicación deberás calcular tasas de variación media y tasas de variación instantánea. Puedes desplazar el punto amarillo situado sobre el eje X para fijar el extremo inferior del intervalo y ajustar la amplitud del mismo mediante el deslizador.

Usa la aplicación y responde:

1. Desliza adecuadamente el punto amarillo y ajusta el deslizador para hallar la TVM en el intervalo [1, 3].
2. Calcula ahora la TVM de la función en el intervalo [0,1].
3. Coloca el punto amarillo en x=1. Coloca el deslizador en h=2. Mueve el deslizador o pulsa sobre los botones, lentamente, desde h=2 hasta h=0,01. Completa la tabla con los valores que vas obteniendo. ¿Hacia qué valor se va acercando la TVM cuando h se acerca a 0? ¿Qué ocurre con la recta secante cuando h se acerca a 0?

4. Analiza los resultados anteriores. Observa qué ocurre cuando h=0. ¿Es lo que esperabas? ¿Cuánto vale la tasa de variación instantánea (TVI) de la función en x=1?

5. Utilizando el mismo procedimiento que has empleado en el ejercicio anterior, calcula ahora la TVI de la función en los siguientes puntos:

6. Encuentra el punto o puntos de la función en los que la TVI toma el valor que en cada caso se indica:

7. ¿Hay puntos de la función en los que la tasa de variación instantánea valga 0? Indícalos. ¿Qué representan esos puntos en la gráfica?