A finales del siglo XIX el matemático francés Joseph Louis François Bertrand planteó el siguiente problema de probabilidad geométrica:

Consideremos una circunferencia y tomemos una cuerda al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esta cuerda sea más larga que el lado del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia?

Abordando el problema de diferentes maneras, Bertrand obtuvo tres resultados distintos. ¿Cómo es posible? La pregunta clave es: ¿Cómo trazar una cuerda al azar?

En la aplicación siguiente se pueden observar tres circunferencias. En cada una de ellas se generan cuerdas siguiendo un método aleatorio diferente. Para ayudarte a comprenderlo hay un deslizador para cada circunferencia que permite ver paso a paso cada uno de los tres métodos de modo independiente.

Usa la aplicación y responde:

• Inicialmente y hasta que no se especifique lo contrario trabajaremos solo en la parte izquierda de la pantalla para intentar comprender el primero de los tres métodos y calcular la correspondiente probabilidad.

1. Cambia la posición del punto P₁ al lugar que quieras y luego cambia a 4 el valor del deslizador que inicialmente está a 3. Luego pulsa el botón  en sucesivas ocasiones y observa las cuerdas generadas. ¿De qué depende que aparezcan en rojo o en verde?

2. Coloca en 5 el valor del deslizador y pulsa el botón . Observa los contadores de cuerdas rojas y verdes. ¿Qué color gana en el marcador? ¿Por qué?

3. Si se generasen por este método miles de cuerdas, ¿qué porcentaje cabría esperar de cuerdas más largas que el lado del triángulo inscrito? ¿Por qué?

4. Describe el método por el que se genera aleatoriamente cada cuerda en esta circunferencia. El deslizador puede servirte para ver la construcción paso a paso.

• Detén si no lo has hecho la generación de cuerdas en la primera de las tres circunferencias y pasa a experimentar con la segunda. Responde a las cuatro cuestiones anteriores para este segundo modo de generar cuerdas al azar.

• Repite el proceso con la tercera circunferencia.