Bases y coordenadas

En la siguiente aplicación, cuando se pulsa el botón "Ver coordenadas" aparecen las coordenadas usadas habitualmente en el plano cartesiano: las referidas a la base canónica {i, j} con i=(1,0) y j=(0,1).

Pero ésta no es la única manera de asignar coordenadas a un vector:

Cualquier par de vectores del plano que no sean paralelos entre sí pueden generar cualquier otro vector.

Dicho de otro modo, cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los dos vectores de una base. A los coeficientes que intervienen en esa combinación lineal se les llama coordenadas (de el vector descompuesto respecto de la base empleada).

En la aplicación se puede observar gráficamente la veracidad de las afirmaciones anteriores facilitando la comprensión de los conceptos manejados.

Usa la aplicación y responde:

  1. Pulsa el botón verde y observa la expresión del vector a como combinación lineal de u y v. Concretamente a = u - v . Así pues, considerando la base formada por los vectores u y v: B={u,v} podemos afirmar que las coordenadas de a respecto a B son .
    Pulsa el botón "Ver coordenadas" y comprueba cómo estas cumplen la relación análoga: .

  2. Vuelve a la posición inicial (pulsando en el botón ) y desplaza los puntos extremos del vector a hasta visualizar a = (3,6). ¿Cuáles son ahora las coordenadas de a respecto a B? Compruébalo también operando con las coordenadas (respecto a la base canónica) de a, u y v.

  3. Encuentra de forma gráfica y comprueba numéricamente las coordenadas del vector a respecto de la base B={u,v} en cada uno de los casos siguientes:

    • a=(-12,-2), u=(4,-3) y v=(-1,-2). (Ejercicio 39 a del libro de texto).

    • a=(9,0), u=(1,2) y v=(2,1).

    • a=(11,-1), u=(3,1) y v=(-1,2).

  4. Describe el procedimiento gráfico para poner un vector como combinación lineal de otros dos.