Comprueba

Demostración

Cálculo

Ángulo β = Ángulo β', por abarcar el mismo arco.

α

Ángulo α común.

Los triángulos PA'B y PAB' son semejantes.

\frac{PA'}{PB}=\frac{PA}{PB'} \space ⇒ \space PA \space · \space PB \space = \space PA' \space · \space PB' \space = \space Pot(P,c)

A

B

Distancia(O,A) = OA = r

Distancia(O,B) = OB = r

Distancia(P,O) = PO = d

Distancia(P,A) = PA = d-r

Distancia(P,B) = PB = d+r

Pot (P, c) = PA · PB = (d-r) · (d+r) = d^{2}-r^{2}

Si el punto P es exterior a la cirunferencia c, Pot(P,c) > 0

Si el punto P pertenece a la cirunferencia c, Pot(P,c) = 0

Si el punto P es interior a la cirunferencia c, Pot(P,c) < 0

Ángulo α = Ángulo α' , por ser opuestos por el vértice

E2 = (9, -3.5)
c_1 = Line(E2, yAxis)
b_1 = Line(E2, xAxis)
E1 = (-3, 3)
d_1 = Line(E1, yAxis)
E4 = Intersect(b_1, d_1)
a_1 = Line(E1, xAxis)
E3 = Intersect(a_1, c_1)
poli1, e1, e3, e2, e4 = Polygon(E1, E3, E2, E4)
O = Intersect(xAxis, yAxis)
r = 1.7 (slider from 1 to 3, step 0.1)
P = PointIn(poli1)
c = Circle(O, r)
A = Point(c)
a = Line(P, A)
B = Intersect(c, a, 2)
dPA = Distance(P, A)
dPB = Distance(P, B)
PA = Distance(P, A)
PB = Distance(P, B)
b: (PA * PB)
texto1 = LaTeX(b, true, true)
d = Segment(P, A)
e = Segment(P, B)
A' = Point(c)
f = Line(P, A')
C, B' = Intersect(c, f)
g = Segment(P, A')
h = Segment(P, B')
dPA' = Distance(P, A')
dPB' = Distance(P, B')
distanciaPA = Distance(P, A)
texto3: "Distancia(P,B) =PB= " + dPB + ""
texto2: "Distancia(P,A) = PA = " + (LaTeX[dPA]) + ""
texto4: "Distancia(P,A') = PA' = " + dPA' + ""
texto5: "Distancia(P,B') = PB' = " + dPB' + ""
pAB: (dPA * dPB)
texto6: "PA · PB = " + pAB + ""
pA'B': (dPA' * dPB')
texto7: "PA' · PB' = " + pA'B' + ""
i: false
j: false
k = false
l = Segment(A, B')
m = Segment(B, A')
β' = Angle(A, B', P)
β = Angle(A', B, P)
p = CircleArc(O, A', A)
δ = Angle(A', O, A)
q = CircleArc(O, A, A')
α_1 = Angle(A', P, A)
n = Line(P, O)
D, E = Intersect(c, n)
s = Segment(P, D)
t = Segment(P, E)
dPO = Distance(P, O)
TextoPO: Name[P] + (Name[O]) + " = " + dPO
pot: dPO^(2) - r^(2)
texto18: "Pot(P,c) = d^{2}-r^{2}=" + (LaTeX[dPO]) + "^{2}-" + (LaTeX[r]) + "^{2}=" + (LaTeX[pot]) + ""
α = Angle(B', P, A)
α' = Angle(B, P, A')