En esta aplicación se trabajan de forma visual los conceptos de límite, límites laterales y límites en el infinito de una función. La casilla de entrada situada en la parte superior de la ventana derecha nos permitirá introducir la expresión algebraica de la función. Inicialmente la expresión que se ha introducido (en la casilla de entrada no se muestra completa), es la siguiente:

f(x)=Si[x ≤ 0, -1 / x, x  <  1, -2 / (x (x - 2)), x ≤ 3, 4 / ((x - 3) (x + 1)) + 2, (-3x + 5) / (3 - x)]

Mediante dicha expresión hemos definido la función:

A través de otra casilla de entrada, en la ventana izquierda, introduciremos el valor de x en el que querermos estudiar el comportamiento de la función. A continuación, activando la correspondiente casilla de control, se puede seleccionar el límite lateral que se desea calcular, así como los límites en +∞ y -∞.

En la ventana derecha se muestra la gráfica de la función. Sobre la misma se ha resaltado el punto en el que estamos estudiando el límite. Al activar una de las casillas de control se mostrará otro punto sobre la gráfica que se desplazará actuando sobre el deslizador o sobre las flechas azules. Los botones  y  te permitirán ajustar los límites de la ventana para apreciar mejor el comportamiento de la función.

Al activar las casillas de control también se mostrará una tabla de valores que te permitirá analizar más detalladamente los valores que va tomando la función. Por último, la casilla de control Mostrar límite te permitirá ir comprobando tus resultados.

Usa la aplicación y responde:

1. Comprueba que el valor asignado a la variable x en la casilla de entrada es 2. Activa ahora la casilla correspondiente al límite lateral cuando x tiende a 2 por la izquierda. Mueve ahora el deslizador hacia la izquierda o pulsa repetidamente la flecha izquierda. Observa el valor al que se va acercando la función cuando el punto verde se aproxima al naranja. Observa también la tabla de valores. ¿Cuánto vale el límite lateral de la función cuando x se acerca a 2 por la izquierda? Activa la casilla Mostrar límite para comprobar tu resultado.

2. Pulsa sobre el botón . Activa ahora la casilla correspondiente al límite lateral cuando x tiende a 2 por la derecha. Mueve el deslizador hacia la izquierda o pulsa repetidamente la flecha izquierda y observa el valor al que se va acercando la función cuando el punto amarillo se aproxima al naranja. Observa también la tabla de valores. ¿Cuánto vale el límite lateral de la función cuando x se acerca a 2 por la derecha? Activa la casilla Mostrar límite para comprobar tu resultado.

3. ¿Coinciden los valores que has encontrado en los dos apartados anteriores? ¿Tiene límite la función cuando x tiende a 2? ¿Cuál es el valor del límite?

4. Pulsa sobre el botón . En la casilla de entrada, cambia ahora el valor x=2 por x=1. Calcula los límites laterales de la función cuando x se acerca a 1. ¿Tiene límite la función en x=1? ¿Por qué?

5. Pulsa sobre el botón . Cambia ahora el valor de x por x=3, en la casilla de entrada. Calcula los límites laterales de la función cuando x se acerca a 3. ¿Hacia qué valores tiende la función? ¿Tiene límite la función en x=3? ¿Por qué?

6. Estudia ahora el límite de la función cuando x tiende a más infinito. Pulsa sobre el botón . Activa ahora la casilla correspondiente al límite lateral cuando x tiende +∞. Mueve el deslizador hacia la derecha o pulsa repetidamente la flecha derecha. Observa el valor al que se va acercando la función, tanto en la gráfica como en la tabla de valores, conforme x se va haciendo cada vez mayor. ¿Cuánto vale el límite de la función cuando x tiende a +∞? Activa la casilla Mostrar límite para comprobar tu resultado.

7. Estudia ahora el comportamiento de la función cuando x tiende a menos infinito. Pulsa sobre el botón . Activa ahora la casilla correspondiente al límite lateral cuando x tiende a -∞. Mueve el deslizador hacia la izquierda o pulsa repetidamente la flecha izquierda. Observa el valor al que se va acercando la función, tanto en la gráfica como en la tabla de valores, cuando x se hace cada vez menor. ¿Cuánto vale el límite de la función cuando x tiende a -∞? Activa la casilla Mostrar límite para comprobar tu resultado.

8. Pulsa sobre el botón . Vamos a estudiar ahora otra función, que debemos escribir en la casilla de entrada. Sitúa el cursor dentro de la casilla de entrada, borra la función actual y escribe:

Si[x <-1, x+2, x<=2, -x²+4, -2/x+1]

De ese modo la función que has introducido es la siguiente:

Siguiendo el mismo procedimiento que en los ejercicios anteriores, estudia el límite de esta función en x=-1, x=0, x=2, así como los límites de la función cuando x tiende a +∞ y -∞.

9. Escribe otras funciones en la casilla de entrada y estudia su límite en los puntos que presenten alguna singularidad, así como en +∞ y -∞.