Continuidad de una función

En esta aplicación se estudia la continuidad de una función en un punto. La función a estudiar se introduce a través de la casilla de entrada situada en la parte superior de la ventana derecha. También a través de una casilla de entrada, en este caso en la ventana izquierda, se debe introducir el valor de la variable x en el que se va a estudiar la continuidad. La función puede depender de uno o dos parámetros a y b, cuyos valores se podrán variar con los dos deslizadores de la ventana izquierda.

Inicialmente se ha introducido la expresión: f(x) = Si[x  <  0, x² + 2, x ≤ 4, a x + b, x - 4] (observa que en la casilla de entrada no se muestra completa), mediante la que se ha definido la función:

funcio

(los valores iniciales de los parámetros son a=0,5 y b=1)

En la ventana derecha se muestra la gráfica de la función anterior. Sobre la misma se ha resaltado el punto P en el que estamos estudiando su continuidad. Los botones zoommaszoommenos permiten ajustar los límites de la ventana para apreciar mejor el comportamiento de la función en las proximidades de P.

Activando una casilla de control se muestra el valor de la función en el punto, en el caso en que esté definida. A su vez, los límites laterales se pueden estudiar con la casilla de control Límites laterales. Al hacerlo se mostrarán sobre la gráfica dos puntos próximos al punto P. Moviendo un deslizador o pulsando sobre la flecha azul izquierda conseguiremos ir desplazando dichos puntos hacia P. Al hacerlo podremos observar los valores que va tomando la función cuando nos acercamos al valor de x en el que estamos estudiando, tanto por la izquierda como por la derecha.

Usa la aplicación y responde:

  1. Comprueba que el valor asignado a la variable x en la casilla de entrada es 2. Activa la casilla Valor de la función. ¿Está definida la función en dicho punto? En caso afirmativo, ¿cuál es su valor?

  2. Activa la casilla Límites laterales. Mueve el deslizador hacia la izquierda o pulsa repetidamente sobre la flecha azul izquierda. ¿Hacia qué valores se van acercando? ¿Tiene límite la función en dicho punto? ¿Coincide con el valor que toma la función en dicho punto? ¿Podemos concluir que la función es continua en x=2?

  3. Pulsa sobre el botón reiniciar. En la casilla de entrada, cambia ahora el valor x=2 por x=0. Repite el proceso seguido en los dos ejercicios anteriores y estudia la continuidad de la función en x=0. En caso de que la función no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta.

  4. Pulsa sobre el botón reiniciar. En la casilla de entrada, cambia ahora el valor x=2 por x=4. Repite el proceso seguido en los dos ejercicios anteriores y estudia la continuidad de la función en x=4. En caso de que la función no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta.

  5. Pulsa sobre el botón reiniciar. Estudia los valores de los parámetros a y b para los que la función es continua en x=0 y en x=4. Utiliza los deslizadores para cambiar los valores de los parámetros y comprueba la continuidad para los valores hallados del mismo modo que lo has hecho en los ejercicios anteriores. Haz analíticamente los cálculos y comprueba que obtienes los mismos valores que con la aplicación.

  6. Pulsa sobre el botón reiniciar. Estudia la continuidad de la siguiente función, que debes escribir en la casilla de entrada. Sitúa el cursor dentro de la casilla de entrada, borra la función actual y escribe:

Si[x <=0, 3, x<2, ax+b, -1]

De ese modo la función que has introducido es la siguiente:

form2
Calcula los valores de los parámetros a y b para que la función sea continua en todo ℛ.
 
  1. Pulsa sobre el botón reiniciar. Vamos a estudiar ahora otra función, que debemos escribir en la casilla de entrada. Sitúa el cursor dentro de la casilla de entrada, borra la función actual y escribe:

Si[x <=-1, 3ax-1, x<=3, bx²-4a, b+2]

De ese modo la función que has introducido es la siguiente:

for3
 Calcula los valores de los parámetros a y b para que la función sea continua en todo ℛ.
 
  1. Escribe otras funciones en la casilla de entrada y estudia su continuidad. Comprueba tu estudio analítico previo con los resultados que obtienes con la aplicación.