La derivada de una función en un punto indica el ritmo de cambio de la función en dicho punto. Una consecuencia inmediata es que la derivada permite saber si la función crece o decrece en un punto determinado con solo atender a su signo. Si la derivada es positiva, la variación de la función es positiva, por tanto crece en el punto considerado. Por el contrario, si la derivada es negativa, la variación es negativa, por lo que la función decrece en el punto considerado.

En esta aplicación se van a determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función y analizar el comportamiento de la función en los puntos en los que la derivada se anula. Inicialmente se estudiará la función representada. A continuación introduciremos nuevas funciones a través de la casilla de entrada que se muestra en la ventana de la izquierda. 

Sobre el eje X se ha destacado un punto de color naranja, que puede desplazarse sobre el eje, y se representa el punto P de la función correspondiente a dicha abscisa, así como la tangente a la función en dicho punto y su pendiente. Las casillas de control permiten mostrar asímismo la función derivada y el tipo de variación de la función en el punto P. En la ventana derecha también se muestran la expresión algebraica de la función, las coordenadas del punto P y el valor de la función derivada en dicho punto. Mediante los botones  y  se puede ajustar la ventana para que los posibles elementos ocultos queden visibles.

Usa la aplicación y responde:

1. Mueve el punto amarillo a lo largo del eje X y fíjate en cómo varía la pendiente de la tangente: observa cuando es positiva, negativa o nula.

2. Ahora vamos a volver a hacerlo, pero con un poco más de atención. Completa la tabla siguiente. Cuando la hayas completado, activa la casilla Mostrar el tipo de variación y comprueba tus resultados.

   x	signo de f'(x)	Tipo de variación
   0	− (f'(x)<0)	decreciente
   0,5
   1
   1,5
   2
   3
   4
   5

3. A partir de tus datos anteriores, determina ahora los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y sus extremos relativos (completa la tabla):

   Intervalo	f'(x)	f(x)
   (−∞, 1)	− (f'(x)<0)	f(x) decrece
   x=1	0	Mínimo relativo

4. Teniendo en cuenta el signo de la primera derivada en los intervalos que has considerado, así como los puntos en que se anula, que ya has obtenido en el apartado anterior, haz un esbozo en el cuaderno de la función derivada. Activa la casilla Mostrar función derivada para comprobar tu resultado.

5. Cambia ahora la función por f(x) = 3x⁵ - 5x³ (Escribe en la casilla de entrada: 3x^5-5x^3). Utiliza la aplicación para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como sus extremos relativos de modo análogo al que has utilizado antes. Completa la tabla siguiente:

6. Para cada una de las siguientes funciones, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus extremos relativos:

   1. f(x)=x³+3x² [en la casilla de entrada escribe x^3+3x^2 ]

   2. f(x)= ln x [en la casilla de entrada escribe ln(x) ]

   3. f(x)=e^x (x-2) [en la casilla de entrada escribe exp(x) (x-2) ]

   4. [en la casilla de entrada escribe x^3/(3 (x+1)) ]

   5. [en la casilla de entrada escribe (x^2+1)/(x^2-1) ]