Hay infinitas formas de construir un trapecio que tenga iguales tres de sus cuatro lados. A continuación puedes ver algunos ejemplos:

     

Es bastante evidente que los tres trapecios representados, a pesar de tener tres de sus lados iguales, tienen perímetros diferentes (el cuarto lado es en los tres casos claramente distinto). Parece lógico pensar que sus áreas también serán diferentes. Pues bien, de todos los trapecios que tienen tres lados iguales, encuentra aquel que tiene área máxima. (Tema 9. Ejercicio 173)

En la aplicación se muestra un trapecio con tres de sus lados iguales. Moviendo el punto A puedes cambiar la forma del trapecio y con el deslizador de la parte superior izquierda (o con los botones de aumentar y disminuir) puedes modificar la longitud de sus lados iguales. También se indica el valor del ángulo que forma el lado oblicuo que mueves con la base inferior del trapecio. En la otra vista gráfica se representa el área del trapecio en función del ángulo citado. Al mover el punto A se desplaza el punto de la gráfica, que deja a la vista su rastro. Vamos a estudiar cómo depende el área del trapecio del ángulo citado y hallar el valor del ángulo para el que el área es máxima.

Usa la aplicación y responde:

1. Mueve el punto A y observa cómo varían tanto la forma del trapecio como su área. Observa también la otra ventana y fíjate en la trayectoria del punto que se representa. ¿Cómo describirías la variación del área cuando vamos aumentando el ángulo que forma el lado oblicuo con la base?

2. Trata de localizar ahora el valor del ángulo que hace máxima el área del trapecio. ¿Para qué ángulo se obtiene el valor máximo del área? ¿Cuál es el valor del área que le corresponde?

3. Con el deslizador modifica ahora la longitud de los lados iguales. Repite el proceso del apartado anterior. ¿Para qué valor del ángulo se obtiene el área máxima? ¿Obtienes un valor distinto al obtenido en el apartado anterior? Por tanto, ¿depende dicho ángulo del tamaño de los lados iguales del trapecio?

4. Pulsa ahora el botón . Describe la función representada, indicando sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos, si los hubiera. ¿A qué punto de la gráfica corresponden los valores que has hallado en los apartados anteriores?

5. Pulsa ahora el botón . Observa la gráfica de la función derivada. ¿En qué punto corta al eje X? ¿Qué relación tiene el punto de corte con el valor que estamos buscando?

6. Halla la expresión algebraica de la función representada: se trata de calcular el área del trapecio en función del ángulo x que forma el lado oblicuo con la base inferior, expresado en radianes. Entonces la altura del trapecio será a sen x y la base inferior a + 2a cos x, siendo a la longitud de los tres lados iguales del trapecio, como puedes ver en la siguiente figura:

7. Halla ahora la función derivada de la función que acabas de obtener. ¿Para qué valor o valores de x se anula? Tendrás que resolver una ecuación trigonométrica. ¿Coincide con la solución que has encontrado en los apartados anteriores?

8. Activa la casilla Mostrar solución y comprueba tus resultados.