Dado un segmento cualquiera, elegimos al azar dos puntos del mismo, de modo que el segmento queda dividido en tres trozos. Ahora tratamos de construir un triángulo con los tres segmentos en que ha quedado dividido el segmento inicial dado pero, ¿podremos lograrlo siempre? Seguramente recordarás que para que tres segmentos determinen un triángulo cualquiera de ellos debe ser menor que la suma de los otros dos. Y, claro, con las condiciones iniciales no siempre garantizamos que los tres trozos en que queda dividido el segmento cumplan dicha condición. De modo que el problema que nos planteamos es hallar la probabilidad de que podamos construir un triángulo con los tres segmentos resultantes de cortar en tres partes, al azar, un segmento dado. 

La aplicación consta de tres escenas que se seleccionan pulsando sobre los botones de la parte superior izquierda de la ventana. En la primera escena, que es la que está seleccionada inicialmente, podremos explorar el problema y hacernos una idea intuitiva de la probabilidad que buscamos. En la segunda escena haremos la simulación para encontrar un valor aproximado de la probabilidad. Por último, en la tercera escena nos aproximaremos a la solución teórica del problema.

Usa la aplicación y responde:

1. El segmento tiene una longitud de 8 cm. Observa que sobre el mismo aparecen dos puntos de color amarillo que lo dividen en tres trozos l₁, l₂ y l₃, cuyas longitudes se indican en la parte superior de la ventana. ¿Puedes construir un triángulo con los segmentos l₁, l₂ y l₃? Mueve los puntos verdes para comprobarlo.

2. Pulsa el botón  y repite la comprobación. Estudia algunos casos más: cada vez que pulses en el botón  se presenta una nueva situación, con los dos puntos amarillos colocados al azar.

3. Hagamos un primer análisis de los resultados que has obtenido: al situar al azar dos puntos sobre el segmento, ¿es más fácil que pueda construirse un triángulo o que no se pueda? Tomando como referencia tus resultados, ¿qué probabilidad asignarías a la construcción del triángulo? No hace falta ahora que hagas cálculos precisos, que haremos más adelante, basta con que hagas una primera aproximación a partir de tus observaciones.

4. Pulsa sobre el botón . La velocidad de la simulación se puede modificar mediante el deslizador horizontal: en el extremo izquierdo se detiene y en el derecho la velocidad es máxima. Mueve el deslizador ligeramente hacia la derecha para iniciar la simulación y observa el resultado: fíjate cuando se construye un triángulo y cuando no es posible.

5. Observa que en el cuadrado de la derecha aparece un punto cuya posición varía con la simulación, ya que sus coordenadas dependen de la posición de los puntos sobre el segmento. Activa ahora la casilla Mostrar rastro: cuando sea posible construir el triángulo la traza del punto será verde y en caso contrario será roja. Aumenta la velocidad de simulación hasta su máximo valor y deja actuar la aplicación durante unos minutos. ¿Qué parte del cuadrado queda coloreada? De la parte coloreada, ¿qué parte ocupa el color rojo? ¿Y el verde? Si no lo ves claramente activa la casilla Ayuda.

6. A la vista de los resultados obtenidos, ¿qué probabilidad asignarías a la construcción de un triángulo con los tres segmentos resultantes de cortar en tres partes, al azar, un segmento dado?

7. Pulsa el botón . Ahora puedes mover libremente los dos puntos amarillos. Mantén fijo uno de los puntos y mueve el otro de un extremo al otro del segmento. Observa en qué posiciones del segundo punto es posible formar un triángulo con los tres trozos que se determinan en el segmento (se deben cortar los arcos).

8. Activa la casilla Mostrar rastro. Mueve uno de los puntos de un extremo a otro del segmento y observa la traza sobre el cuadrado: es verde cuando se puede formar un triángulo y roja en caso contrario. Cambia la posición del primer punto y vuelve a mover el otro de un extremo al otro del segmento. Combinando los movimientos de los dos puntos puedes colorear por completo el cuadrado. Si lo haces, ¿qué parte del cuadrado ha quedado coloreada en color rojo? ¿Y en color verde? ¿Cambiarán estas proporciones si modificamos la longitud del segmento inicial? 

9. Es el momento de sacar conclusiones. ¿Cuál es la probabilidad de construir un triángulo con los tres segmentos resultantes de cortar en tres partes, al azar, un segmento dado?