La moneda de Buffon

Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, fue un célebre naturalista francés que también dejó su huella en las Matemáticas. En 1733 planteó uno de los problemas clásicos de la probabilidad: el problema de La aguja de Buffon. Se lanza una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas equidistantes entre sí y se trata de hallar la probabilidad de que la aguja toque alguna de las líneas paralelas. Más adelante extendió su problema al lanzamiento de la aguja sobre una cuadrícula, aunque en este segundo caso cometió un error en su cálculo que fue más adelante corregido por Laplace.

En esta ocasión vamos abordar un problema que se deriva del anterior y que se conoce como La moneda de Buffon: si lanzamos una moneda sobre una cuadrícula, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda toque alguna de las líneas de la misma?

Usa la aplicación y responde:

  1. Pulsa sobre el botón lanza y fíjate en la posición de la moneda: observa si cae sobre alguna de las líneas de la cuadrícula o  no. Repite el proceso varias veces más. A la vista de los  resultados que vas obteniendo, ¿qué crees que es más probable, que la moneda toque alguna de las líneas de la cuadrícula o que no toque ninguna? Puedes pulsar sobre el botón avanza para ver si se cumple tu conjetura. Utiliza el botón pausa puedes detener la animación.

  2. Cambia el diámetro de la moneda, utilizando el deslizador, y repite la experiencia. Prueba con valores mayores y menores de 0,5. ¿Qué relación tiene el diámetro de la moneda con la mayor o menor probabilidad de que caiga sobre una de las líneas de la cuadrícula?

  3. Pulsa ahora sobre el botón simu. Activa la animación automática mediante el botón avanza1. Lo que observas son los resultados de series de lanzamientos de 200 monedas iguales, de 0,5 unidades de diámetro, sobre una cuadrícula de lado 1 unidad. Fíjate en los resultados que aparecen en la parte superior, particularmente en la proporción de monedas que tocan alguna de las líneas de la cuadrícula. ¿Qué proporción de fichas, por término medio, tocan alguna de las líneas de la cuadrícula? Para poder tomar nota mejor de los resultados detén la animación automática con el botón pausa2 y utiliza el botón lanza para realizar una a una las simulaciones.

  4. Modifica el número de fichas: prueba con otros valores. ¿Obtienes resultados similares o hay variaciones importantes?

  5. Con los deslizadores selecciona 200 monedas de 0,25 unidades de diámetro. Activa nuevamente la animación. ¿Qué proporción de monedas, por término medio, tocan ahora alguna de las líneas de la cuadrícula?

  6. Con los deslizadores selecciona ahora 200 monedas de 0,75 unidades de diámetro. Activa nuevamente la animación. ¿Qué proporción de fichas, por término medio, tocan ahora alguna de las líneas de la cuadrícula?

  7. Analiza los resultados de los ejercicios anteriores. ¿Encuentras alguna relación entre el diámetro de las monedas y la proporción de ellas que toca alguna de las líneas de la cuadrícula?

  8. Pulsa sobre el botón solu. Ahora puedes mover libremente la moneda sobre la cuadrícula, actuando con el ratón sobre su centro. Pulsa el botón activ: así podrás ver el rastro del centro de la moneda. Mueve la moneda con cuidado por el interior del cuadrado, de modo que no toque ninguna de las líneas de la cuadrícula. Desliza la ficha sobre los lados del cuadrado, sin salirte de los límites del mismo, y colorea también el interior del recinto que delimitas. Cuando lo hayas completado pulsa el botón borra y aparta la ficha para ver más claramente el resultado. ¿Qué forma tiene la región que has coloreado? ¿Qué parte del cuadrado representa? Si consideramos que el cuadrado tiene un área de 1 unidad cuadrada, ¿cuál es el área de la región central coloreada? ¿Y el área de la parte del cuadrado no coloreada? Si lo estimas necesario activa la casilla Ayuda.

  9. Si tras el lanzamiento el centro de la moneda cae en la región no coloreada, la moneda tocará necesariamente alguna de las líneas de la cuadrícula. Basándonos en esto podemos calcular la probabilidad de este resultado, ya que será igual a la proporción entre el área no coloreada y el área total. Por tanto, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda de 0,5 unidades de diámetro sobre una cuadrícula de 1 unidad de lado toque alguna de las líneas de la cuadrícula?

  10. Utilizando el mismo razonamiento calcula ahora las probabilidades de que la moneda al caer toque alguna de las líneas de la cuadrícula cuando su diámetro es de 0,25 unidades y cuando sea de 0,75 unidades. Compara los resultados obtenidos en los dos últimos ejercicios con los de la simulación anterior. ¿Qué conclusión puedes sacar?