El matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754) demostró que bajo determinadas condiciones la distribución binomial Bin(n,p) se puede aproximar mediante la distribución normal N(np, ), donde q=1-p, es decir, mediante una distribución normal que tiene la misma media y la misma desviación típica que la distribución binomial. Cuanto mayor es el valor de n y más próximo a 0.5 es el valor de p, mejor se adapta la curva de la distribución normal a la gráfica de la distribución binomial.

Ajuste de la B(13,0.45) por la N(5.85,1.79)

Para valorar la aproximación de la distribución binomial B(n,p) mediante la distribución normal N(np,) se suele emplear el siguiente criterio:

• La aproximación es aceptable si n·p y n·q son ambos mayores que 3.

• La aproximación es muy buena si n·p y n·q son ambos mayores que 5.

En la gráfica anterior se puede observar que la curva de la distribución normal N(5,85; 1,79) se adapta muy bien al gráfico de la distribución binomial Bin(13; 0,45). En tal caso se tiene: n=13, p=0,45 y q=0,55, con lo que

n·p=5,85     n·q=7,15

valores que garantizan que la aproximación es muy buena.

Usa la aplicación y responde:

1. Coloca el deslizador de p en el valor p=0,40. Mueve ahora el deslizador n. Observa la gráfica. ¿A partir de qué valor de n se obtiene una aproximación aceptable? ¿A partir de qué valor de n se obtiene una aproximación muy buena? ¿Cuánto valen los productos n·p y n·(1-p) en cada caso?

2. Prueba ahora con otros valores de p: fija el valor de p con su deslizador, mueve el deslizador n y observa el efecto. Calcula los valores de n a partir de los cuales se obtiene una aproximación aceptable o muy buena, respectivamente.

3. Coloca el deslizador de n en el valor n=10. Mueve el deslizador de p. ¿Entre qué valores de  p se obtiene una aproximación aceptable mediante una distribución normal? ¿Cuánto valen los productos n·p y n·(1-p) en cada caso?

4. ¿Entre qué valores se obtiene una aproximación muy buena? ¿Cuanto valen los productos n·p y n·(1-p) en cada caso?

5. Prueba ahora con otros valores de n: fija el valor de n con su deslizador, mueve el deslizador p y observa el efecto. Calcula los valores de p entre los cuales se obtiene una aproximación aceptable o muy buena, respectivamente.