La distribución en el muestreo de la suma y de la diferencia de medias $\bar { X } $₁ ∓ $\bar { X } $₂ tiene las siguientes características:

• El valor esperado o media es: μ = μ₁∓μ₂

• La desviación típica es, en ambos casos: $\sigma =\sqrt { \frac { { { \sigma  }_{ 1 }^{ 2 } } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { \sigma  }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } }  } $

• A medida que crecen n₁ y n₂, las distribuciones $\bar { X } $₁ − $\bar { X } $₂ y $\bar { X } $₁ + $\bar { X } $₂ se aproximan a la normal.

En esta aplicación vamos a resolver problemas sobre distribuciones en el muestreo de la suma y de la diferencia de medias. En la ventana izquierda debes introducir los datos relativos a cada una de las muestras (media, desviación típica y tamaño) en las casillas de entrada correspondientes. A continuación debes activar la casilla de control correspondiente a la suma o a la diferencia, según el caso. Inmediatamente se calcularán los parámetros que caracterizan a la distribución. Los valores iniciales se corresponden con los datos del primero de los problemas.

Una vez introducidos los datos de las muestras, para calcular la probabilidad P(X≤k) pulsa el botón e introduce el valor de k en la casilla correspondiente. Utiliza los botones y para calcular probabilidades P(k₁≤X≤k₂) y P(X≥k), respectivamente.

Usa la aplicación y responde:

1. Las lámparas de una marca A tienen una duración media de vida de 2000 horas, con una desviación típica de 400 horas, mientras que las de otra marca B tienen una duración media de 1800 horas, con una desviación típica de 500 horas. Se selecciona una muestra de 200 lámparas de la marca A y de 400 de la marca B. Calcula la probabilidad de:

1. La suma de las vidas medias de ambas muestras supere las 3850 horas.

2. La suma de las vidas medias de ambas muestras sea menor que la esperada.

3. La vida media de la muestra A no supere en más de 100 horas a la de la muestra B.

2. En un instituto se elige al azar una muestra de 50 alumnos, los cuales tienen una talla media de 1,73 m y una desviación típica de 0,08 m, y una muestra de 60 alumnas, las cuales tienen una talla media de 1,66 m y una desviación típica de 0,10 m. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de tallas medias sea mayor de 10 cm? ¿Y la probabilidad de que la diferencia esté comprendida entre 0,05 cm y 0,10 cm?

3. El peso medio de los pollos de una granja es 2 kg con una desviación típica de 300 g. En otra granja B el peso medio es de 2,4 kg con una desviación típica de 400 g. Se eligen al azar 100 pollos de A y 50 de B. Calcula la probabilidad de que la suma de los pesos medios de ambas muestras sea mayor que 4,5 kg.

4. Se sabe que el peso X de la masa corporal en adultos que no hacen ejercicio sugue una distribución con media de 24,3 kg y desviación típica de 2,4 kg. En cambio, el peso Y de la grasa en adultos que hacen ejercicio regularmente se distribuye con una media de 20,1 kg y desviación típica de 1,7 kg. Si se eligen en ambas poblaciones muestras aleatorias de 50 elementos, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia de la masa corporal media sea mayor de 3 kg?

5. En una población A, la tensión ocular de personas adultas tiene una distribución normal de media 18 y varianza 2, mientras que en otra población B tiene una distribución normal de media 20 y varianza 4. Se elige al azar una muestra de 25 personas adultas en cada una de las dos poblaciones. Calcula la probabilidad de que la media muestral de la población A sea menor que la de B en al menos una unidad.