Distribución en el muestreo de una proporción: problemas

En esta aplicación vamos a utilizar la herramienta Cálculo de Probabilidades de GeoGebra para la resolución de problemas relativos a la distribución en el muestreo de una proporción. Al inicio comprueba que la distribucion elegida es la Distribución Normal (abriendo el menú desplegable se pueden seleccionar distintos tipos de distribuciones). A continuación, debes introducir en las casillas correspondientes los valores de la media μ y de la desviación típica σ. Debes tener en cuenta que si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande y la proporción p no toma valores muy próximos a 0 o a 1, la distribución de la proporción muestral se puede aproximar por una distribución normal:

$$\widehat { p } \rightarrow N(\mu =p,{ \sigma  }^{ 2 }=\frac { p(1-p) }{ n } )$$

De modo que previamente has de calcular la desviación típica correspondiente: $\sigma =\sqrt { \frac { p(1-p) }{ n }  } $

Una vez introducidos los valores de μ y de σ, para calcular la probabilidad P(X≤k) pulsa el botón izq e introduce el valor de k en la casilla correspondiente. Para el problema inverso, introduce el valor de la probabilidad en la casilla del resultado y obtendrás el valor de k en la otra casilla. Utiliza los botones cen y der para calcular probabilidades P(k1≤X≤k2) y P(X≥k), respectivamente.

Usa la aplicación y responde:

  1. El 10 % de los pasteles que hace un pastelero tienen un exceso de peso. Se toma una muestra de 45 pasteles. Halla la probabilidad de que en la muestra existan más de cinco pasteles con exceso de peso.

      • Calcula previamente
        • la proporción de pasteles en la muestra$\frac{5}{45}=0,111$
        • la desviación típica: $\sigma =\sqrt { \frac { 0,1(1-0,1) }{ 45 }  }=0,045 $
      • Introduce en la aplicación los valores μ=0,1 y σ=0,045.
      • Pulsa sobre el botón centro e introduce el valor 0,111 en las casilla.
      • ¿Qué resultado obtienes?

  1. En las pasadas elecciones el partido A ha recibido el 24 % de los votos emitidos. Si se elige una muestra aleatoria de 80 personas que han votado, ¿cuál es la probabilidad de que hayan votado al partido A más de 25 personas?

  1. En un saco mezclamos judías blancas y judías pintas en la relación de 14 blancas por cada pinta. Extraemos, al azar, 100 judías del saco:

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de judías pintas esté entre 0,05 y 0,1?

    2. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de judías pintas sea mayor de 0,1?

  1. El 4 % de las piezas que fabrica una máquina son defectuosas. Se toma una muestra de 50 piezas. Halla la probabilidad de que en la muestra existan 3 o más piezas defectuosas.

  1. En un país, de cada 5 personas que sufren accidentes de automóvil en carretera, dos son mujeres. En ese país se selecciona una muestra aleatoria de 200 personas que han sufrido un accidente. Calcula la probabilidad de que:

    1. Menos de la mitad de los accidentados sean hombres.

    2. La proporción de hombres accidentados esté entre el 40 % y el 60 %.