Contraste para la media de una distribución normal

En esta aplicación utilizaremos la herramienta Cálculo de Probabilidades de GeoGebra para realizar un contraste de hipótesis de la media de una distribución normal. Seleccionamos la pestaña Estadísticas, en la esquina superior izquierda de la ventana:

pestaña

Una vez seleccionada, abrimos el menú desplegable y seleccionamos la opción Test Z de una Media, con lo que se mostrará nuestra ventana de trabajo:

ventanadatos

Veamos un ejemplo de su uso resolviendo el siguiente problema:

La duración de las bombillas de 100 w de una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobadas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?

En la parte superior de la ventana introducimos los datos del problema: la hipótesis nula (800), el valor de la media muestral (750), el de la desviación típica (120) y el tamaño de la muestra (50). Además indicaremos el tipo de contraste (bilateral o unilateral), señalando la opción correspondiente para la hipótesis alternativa:

ejemplo

En la parte inferior de la ventana se muestra el resultado. Utilizando el valor de p podemos concluir que debemos rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa ya que 0,0016<0,01 y, en consecuencia, cae dentro de la región crítica. También podríamos justificar el rechazo de la hipótesis nula teniendo en cuenta que para un nivel de significación de 0,01 en un contraste unilateral corresponde un valor de Z=-2,33>-2,94.

Usa la aplicación para resolver los siguientes problemas:

  1. El número de kilómetros que es posible recorrer antes de su sustitución según el fabricante A de neumáticos se distribuye según una normal de media 50000 km. Con el fin de contrastar esta hipótesis, otra marca de la competencia toma una muestra de 40 neumáticos de la marca A y observa que la duración media es de 45000 km, con una desviación típica muestral de 3200 km. ¿Se puede creer al fabricante A al nivel de confianza del 95 %?

  2. Un informe de la Asociación de Compañías Aéreas indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y la Península Ibérica es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros Canarias-Península Ibérica y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0,1 %, la afirmación de partida? ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera del 1 %?

  3. Hace 15 años el consumo medio mensual de electricidad por vivienda en una localidad era de 320 kw. Este año se ha tomado una muestra aleatoria de 25 viviendas y se ha obtenido un consumo medio mensual de 370 kw, con una desviación típica de 80 kw. ¿Puede aceptarse con un nivel de significación del 10 % que el consumo medio ha aumentado?

  4. Una encuesta, realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma era de 6,5 años, con una desviación típica de 4. ¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5 %, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o igual que 6? Justifica adecuadamente la respuesta.

  5. Gracias a trabajos realizados por expertos, se sabe que la velocidad lectora media de los niños de 6 años es de 40 palabras por minuto, siendo la desviación típica 12. Hemos tomado una muestra aleatoria de 49 niños de 6 años y les hemos medido su velocidad lectora, resultando una media de 42 palabras por minuto. ¿Podemos afirmar que nuestra media es compatible con la de los expertos, a un nivel de confianza del 99 %?

  6. Se sabe que la renta anual de los individuos de una ciudad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 2000 €. Se ha observado la renta anual de 35 individuosde esa localidad, escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 20000 €. Contrasta, a un nivel de significación del 5 %, si la media de la distribución es de 18000 €.

  7. Antes de la puesta en marcha del carné por puntos, la velocidad en cierta carretera seguía una normal de media 80 km/h y desviación típica 10 km/h. Pasados unos meses de la introducción de dicha medida, sobre 40 vehículos observados a diferentes horas del día se obtuvo una media de 75 km/h. La velocidad sigue siendo una normal con la misma desviación típica. Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con dicha media la situación sigue igual, frente a que, como parece, ha mejorado. ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5 %?

  8. Una máquina de llenado está diseñada para llenar bolsas con 300 g de cereales. Con el objeto de comprobar el buen funcionamiento de la misma, se eligen al azar 100 bolsas llenadas en un día y se pesa su contenido. El valor de la media muestral es de 297 g. Suponiendo que la variable peso tiene una distribución normal de varianza 16, ¿es aceptable el funcionamiento de la máquina al nivel de significación de 0,05 %?

  9. Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa tienen media de 1800 N y una desviación típica de 100 N. Se desea comprobar si un nuevo proceso de fabricación modifica dicha tensión media de ruptura. Para ello se toma una muestra de 50 cables y se encuentra que su tensión media es de 1850 N. ¿Se puede afirmar que el nuevo proceso de fabricación ha modificado la tensión media de ruptura al nivel de signifiicación del 5 %?