Contraste para la proporción de una distribución binomial

En esta aplicación utilizaremos la herramienta Cálculo de Probabilidades de GeoGebra para realizar un contraste de hipótesis de la media de una distribución normal. Seleccionamos la pestaña Estadísticas, en la esquina superior izquierda de la ventana:

pestaña

Una vez seleccionada, abrimos el menú desplegable y seleccionamos la opción Test Z de una Proporción, con lo que se mostrará nuestra ventana de trabajo:

ventanadatos

Veamos un ejemplo de su uso resolviendo el siguiente problema:

Un dentista afirma que el 40 % de los niños de 10 años muestran indicios de caries dental. Tomada una muestra de 100 niños se observó que 32 tenían estos indicios. Se quiere saber si este resultado permite rechazar la afirmación del dentista con un nivel de significación del 5 %.

En la parte superior de la ventana introducimos los datos del problema: la hipótesis nula (p=0.4, utilizando el punto en lugar de la coma decimal), el número de éxitos (32) y el tamaño de la muestra (100). Además indicaremos el tipo de contraste (bilateral o unilateral), señalando la opción correspondiente para la hipótesis alternativa (en este caso bilateral):

ejemplo

En la parte inferior de la ventana se muestra el resultado. Utilizando el valor de p podemos concluir que no podemos rechazar la hipótesis nula ya que 0,1025>0,05 y, en consecuencia, cae dentro del intervalo de aceptación de la hipótesis nula. También podríamos justificar el no rechazo de la hipótesis nula teniendo en cuenta que para un nivel de significación de 0,05 en un contraste bilateral corresponde un valor de Z=-1,96<-1,63.

Usa la aplicación para resolver los siguientes problemas:

  1. Se trabaja con la hipótesis de que uno de cada diez varones manifiesta algún tipo de daltonismo. Elegidos 400 varones se detectan 50 daltónicos. Con un nivel de significación del 10 % , ¿se puede aceptar la hipótesis de partida? A partir de la misma muestra, ¿se obtendría la misma conclusión si α=0,02?

  2. Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6 % de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. Con un nivel de significación del 1 %, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?

  3. En los cursos anteriores el porcentaje de alumnos universitarios que se traían comida de casa estaba en torno al 20 %. Tras la imposición este año de un cambio en los horarios, se sospechó que dicho porcentaje había aumentado significativamente, lo que obligaría a la instalación de más microondas y mesas en el comedor universitario. Para estudiar esto, se tomó una muestra de 1000 estudiantes elegidos al azar y se obtuvo que 310 de ellos traían comida de casa. Plantea un test para contrastar que el cambio en los horarios no ha cambiado el porcentaje de estudiantes que traen su comida de casa, frente a la alternativa de que sí ha hecho que dicho porcentaje sea mayor del 20 %, tal como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5 %?

  4. Según la ley electoral de cierto país, para obtener representación parlamentaria un partido político ha de conseguir en las elecciones un 5 % de los votos. Una encuesta realizada a 1000 ciudadanos con derecho a voto, elegidos al azar, cuando están próximas a celebrarse tales elecciones, revela que 36 de ellos votarán al partido A. ¿Puede estimarse, con un nivel de confianza del 95 %, que A tendrá representación parlamentaria? ¿Y con un nivel de significación del 1 %?

  5. Un laboratorio farmacéutico afirma que un calmante quita la jaqueca en 14 minutos en los casos corrientes. Con el fin de comprobar esta afirmación se eligen al azar 30 pacientes con jaqueca y en el experimento se toma como variable el tiempo que transcurre entre la administración del calmante y el momento en que desaparece la jaqueca, en minutos. Los resultados obtenidos en la muestra fueron 17 minutos de media y 7 minutos de desviación típica.

      1. ¿Podemos admitir como cierta la afirmación del laboratorio a un nivel de confianza del 95 %?

      2. Explica, en el contexto del problema, en qué consisten cada uno de los errores tipo I y tipo II.

  6. El 42 % de los escolares de cierto país suelen perder al menos un día de clase a causa de gripes y catarros. Sin embargo, un estudio sobre 1000 escolares revela que en el último curso hubo 450 en tales circunstancias. Las autoridades sanitarias defienden que el 42 % para toda la población escolar se ha mantenido.

      1. Contrasta, con un nivel de significación del 5 %, la hipótesis de las autoridades sanitarias, frente a que el porcentaje ha aumentado, como parecen indicar los datos, explicando claramente a qué conclusión se llega.

      2. ¿Cómo se llama la probabilidad de concluir erróneamente que el porcentaje se ha mantenido?

  7. La empresa de transportes urgentes El Rápido afirma en su publicidad que al menos el 70 % de sus envíos llega al día siguiente a su destino. Para contrastar la calidad de este servicio, la asociación de consumidores selecciona aleatoriamente 100 envíos y observa que 39 no llegaron al día siguiente a su destino. Con una significación del 1 %, ¿se puede aceptar la afirmación de la empresa? ¿Se concluiría lo mismo con un nivel de significación del 8 %?

  8. El Ayuntamiento de una ciudad hace un estudio en fin de semana y afirma que el 60 % de los jóvenes asiste a discotecas. Una plataforma juvenil afirma que el porcentaje de jóvenes es menor. Para verlo se hace una encuesta a 600 jóvenes y se obtiene que 330 van a discotecas. ¿Se puede aceptar la afirmación del Ayuntamiento si se toma un nivel de confianza del 95 %?

  9. Inicialmente la sección de electrónica de un determinado supermercado era visitada por un 20 % de los clientes. Tras una reordenación del espacio, se seleccionaron aleatoriamente 1225 clientes, de los cuales 294 visitaron dicha sección. Plantea un test para contrastar que la reordenación no ha surtido el efecto esperado de aumentar el porcentaje de visitantes de la sección, frente a la alternativa de que sí lo ha hecho. ¿A qué conclusión se llega con el test anterior para un nivel significación del 1 %?