Sistemas de ecuaciones y planos en el espacio

La primera de las aplicaciones MATTIC de este tema se ha dedicado a la relación entre los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma ax+by=c con el corte de dos rectas en el plano.

De forma parecida, en el espacio los puntos tienen tres coordenadas (x,y,z) y una ecuación como ax+by+cz=d es el conjunto de puntos de un plano.

Para cada plano vamos a disponer de cuatro deslizadores: los tres coeficientes de las incógnitas y el término independiente. Pulsa con el ratón sobre la ventana gráfica y selecciona el botón para ver la ventana 3D desde otras posiciones.

Las actividades que se proponen van encaminadas a familiarizarte con la interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Usa la aplicación y responde:

  1. Utiliza la casilla desplegable  para seleccionar una ecuación (un plano). En la ventana izquierda puedes colocar los coeficientes en los deslizadores, junto a ellos está ecuación en color azul y en la derecha verás el plano dibujado en el sistema de ejes. Aparece también el punto P1, desplázalo sobre el plano y comprueba en algunos casos que las coordenadas del punto satisfacen la ecuación del plano.

  2. Coloca ahora 2 ecuaciones en la casilla de selección. En rojo aparecerán los deslizadores, la ecuación y un punto P2 que puedes desplazar sobre el nuevo plano. Observa la intersección de los dos planos, si los planos no son paralelos es una recta de color morado. Sobre esa recta tenemos un punto R que también podemos desplazar. Comprueba que las coordenadas del punto satisfacen las dos ecuaciones planteadas.

  3. Si ponemos una tercera ecuación, aparece un nuevo plano en color verde. El punto de intersección de los tres planos, P, en caso de encontrarse en la zona que vemos, aparece en color naranja.

  4. Vuelve a repetir los apartados anteriores modificando en cada paso los coeficientes para buscar dos planos que sean paralelos, y también tres planos que no tengan ningún punto en común. Intenta conseguir tres planos cuya intersección común sea una recta.