Usa la aplicación y responde:
La función f es continua en el
intervalo [0,11]. ¿Cumple las hipótesis del teorema de Bolzano? ¿Por qué?
La hipótesis "la función tiene
diferente signo en los extremos del intervalo [a, b]" puede formularse de otras
formas:
O bien f(a) < 0 < f(b), o bien
f(a) > 0 > f(b)
f(a) f(b) < 0
Los puntos extremos de la gráfica (a, f(a)) y (b,
f(b)) se encuentran a ambos
lados del eje X.
Explica por qué estos tres enunciados son
equivalentes al primero.
Una posible idea para la
demostración del teorema de Bolzano es la de "aproximaciones sucesivas". Por
ejemplo, podemos considerar el valor medio del intervalo [a, b]. En el caso de
la función f, este valor es 5,5. En ese valor solo pueden pasar tres cosas:
f(5,5)>0, f(5,5)=0, f(5,5)<0.
En el primer caso, nos quedamos con el intervalo [5,5, 11], que seguiría
cumpliendo la hipótesis del teorema. ¿Por qué? En ese intervalo volveríamos a
considerar su valor medio, y así sucesivamente.
En el segundo caso, ya hemos encontrado el valor buscado.
En el tercer caso, nos quedamos con el intervalo [0, 5,5], que seguiría
cumpliendo la hipótesis del teorema. ¿Por qué? En ese intervalo volveríamos a
considerar su valor medio, y así sucesivamente.
Escribe la lista de los cinco intervalos siguientes de la sucesión de
intervalos encajados que vamos obteniendo en el caso de f: [0, 11], [0,
5,5], [2,25, 5,5], ...
¿A qué valor se aproximarán los
dos extremos de estos intervalos? ¿Por qué? Como esa aproximación es sucesiva,
¿cuál será el valor límite que alcanzarán ambos extremos en una
infinidad de pasos? Por otra parte, ¿a qué número se aproximará el
valor de la función f en esos extremos? ¿Por qué? Como esa aproximación es
sucesiva, ¿cuál será el valor límite que alcanzará la función f en una
infinidad de pasos? Los valores de ambos límites
demuestran el teorema de Bolzano. ¿Por qué?
Varía la posición de los puntos rojos y comprueba
el teorema para distintas funciones.
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