Derivada de una función en un punto

La tasa de variación media (TVM) de una función  en un intervalo permite conocer la variación media de la función en dicho intervalo. Sin embargo, a veces resulta insuficiente esta información, porque se necesita conocer el ritmo de variación de un modo más preciso. De nada sirve saber que la velocidad media a la que ha circulado un coche en un tramo de autopista ha sido de 110 km/h para poder determinar con certeza si en algún punto de ese trayecto ha sobrepasado la velocidad máxima permitida, que es de 120 km/h. De modo que es muy habitual encontrar situaciones en las que lo que necesitamos es la variación instantánea de la función, es decir, el ritmo de variación de la función para un valor determinado de la variable: la velocidad en un instante determinado, la aceleración en un momento concreto, etc.

Desde un punto de vista geométrico, la tasa de variación media de una función en un intervalo es la pendiente de la recta secante a la función en los extremos del intervalo. En esta aplicación partiremos de esa consideración y se analizará qué ocurre con la TVM cuando se va reduciendo la amplitud del intervalo. Se encuentra así una forma de medir el ritmo de cambio de la función en un punto: la tasa de variación instantánea de la función o, lo que es lo mismo, la derivada de la función en un punto de la misma.

Usa la aplicación y responde:

  1. Coloca el punto amarillo en x=1. Coloca el deslizador en h=2. Mueve el deslizador o pulsa sobre los botones, lentamente, desde h=2 hasta h=0,01. Completa la tabla con los valores que vas obteniendo. ¿Hacia qué valor se va acercando la TVM cuando h se acerca a 0? ¿Qué ocurre con la recta secante cuando h se acerca a 0?

x h TVM[x,x+h]
1 2
1 1
1 0,5
1 0,2
1 0,1
1 0,05
1 0,02
1 0,01
  1. Analiza los resultados anteriores. Observa qué ocurre cuando h=0. ¿Es lo que esperabas? ¿Cuánto vale la tasa de variación instantánea o derivada de la función en x=1?

  2. Utilizando el mismo procedimiento que has empleado en el ejercicio anterior, calcula ahora la derivada de la función en los siguientes puntos:

Punto TVI o derivada
x = −1
x = 0
x = 2
x = 3
x = 4
  1. Encuentra el punto o puntos de la función en los que la derivada toma el valor que en cada caso se indica:

TVI o derivada x=
−2,4
−1
0,5
  1. ¿Hay puntos de la función en los que la derivada valga 0? Indícalos. ¿Qué representan esos puntos en la gráfica?