El teorema del valor medio es un resultado fuerte. Gracias a él podemos obtener información de la función f a partir de su función derivada f '. Por ejemplo, es fácil demostrar, usando este teorema, que si f '(x) es positiva en un intervalo, entonces f ha de ser creciente en ese intervalo.

La hipótesis de este teorema es que contamos con una función f que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).

La tesis del teorema es que, en tal caso, la derivada coincide con la tasa de variación media m_f de f en [a, b] en algún punto del intervalo (a, b). Es decir, en esas condiciones, debe existir al menos un cierto valor c del intervalo (a, b) para el cual f '(c) = m_f = (f(b)-f(a))/(b-a).

Usa la aplicación y responde:

1. La función f (verde) de la escena es continua en el intervalo [0, 11] y derivable en (0, 11). Su tasa de variación media en ese intervalo es m_f  = Δy/Δx = 4/11. Si restamos la función f menos la recta PQ, obtenemos la función g (azul). ¿Cuál es el valor general de g en 0? ¿Y en 11?

2. Observa que g cumple las hipótesis del teorema de Rolle. ¿Por qué? Aplicando el teorema de Rolle a g, obtenemos que tiene que existir al menos un valor de c en (0, 11) para el cual se cumple que g'(c) = 0. Esto coincide con la tesis del teorema del valor medio, que es lo que queríamos demostrar. ¿Por qué?

3. Observa la recta discontinua (de pendiente igual a m_f) paralela a la hipotenusa del triángulo rectángulo. ¿Qué relación hay entre el punto en donde esa recta es tangente a f y el punto en donde g' (violeta) corta al eje X. ¿Por qué? Ayúdate del punto azul para verlo mejor.