Teorema fundamental del cálculo

En esta actividad se trata de comprobar la validez y entender el significado del Teorema fundamental del cálculo que viene a decir (básicamente) que integración y derivación son operaciones inversas. El nombre del teorema da idea de su importancia pues vino a demostrar la utilidad del cálculo diferencial (las derivadas y las integrales), desarrollado por los más destacados matemáticos del siglo XVIII (Newton y Leibnitz) para el cálculo exacto de superficies limitadas por líneas curvas, uno de los anhelos de los matemáticos desde la época de Arquímedes (siglo III a. C.).

Usa la aplicación y responde:

  1. Observa la figura inicial y describe lo mejor que sepas las 4 líneas que limitan el área sombreada en rojo.

  2. Desliza el punto B y observa los cambios. ¿Qué relación existe entre la medida del área sombreada y la longitud del segmento BP?

  3. Pulsa en rastro y vuelve a arrastrar el punto B o, si lo prefieres, pulsa play y observa. Justifica el motivo por el que se llama "Función área" a la función cuya gráfica es la curva recién trazada.

  4. Calcula la derivada de esa Función área. ¿A qué es igual?

  5. Pulsa Cambia la definición de la función inicial escribiendo cos(x) en la casilla correspondiente. ¿Cuál es ahora la Función área? ¿Y si se arrastra el punto A hasta el origen de coordenadas? ¿Cuáles son sus derivadas?

  6. Introduce nuevos valores para f(x) y comprueba cómo sus respectivas funciones área son primitivas de la función.

  7. Activa la casilla para "Destacar la Función área" y arrastra ahora el punto P. ¿Qué información facilita el triangulito construido a la derecha de P? ¿Qué relación existe entre el mismo y la longitud del segmento vertical (en la misma abscisa que P)?

  8.   Vuelve a activar el rastro y pulsar play y explica por qué la curva trazada coincide con la gráfica de f(x).