Este teorema afirma que cualquier función F continua en un intervalo cerrado [a, b], que tome valores de distinto signo en sus extremos, debe anularse en algún punto del intervalo (a, b).

Observa que como el intervalo es cerrado, tiene sentido hablar tanto de F(a) como de F(b). Veremos que, intuitivamente, este enunciado es muy sencillo (otra cosa es que sea sencillo demostrarlo formalmente).

El teorema nos garantiza que debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a, b) para el cual F(x) = 0. Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada de cómo encontrarlo.

Usa la aplicación y responde:

1. La función F es continua en el intervalo [0,11]. ¿Cumple las hipótesis del teorema de Bolzano? ¿Por qué?

2. La hipótesis "la función tiene diferente signo en los extremos del intervalo [a, b]" puede formularse de otras formas:

• O bien F(a) < 0 < F(b), o bien F(a) > 0 > F(b)

• F(a) F(b) < 0

• Los puntos extremos de la gráfica (a, F(a)) y (b, F(b)) se encuentran a ambos lados del eje X.

Explica por qué estos tres enunciados son equivalentes al primero.

3. Una posible idea para la demostración del teorema de Bolzano es la de "aproximaciones sucesivas". Por ejemplo, podemos considerar el valor medio del intervalo [a, b]. En el caso de la función F, este valor es 5,5. En ese valor solo pueden pasar tres cosas:
   
   F(5,5)>0, F(5,5)=0, F(5,5)<0.
   
   En el primer caso, nos quedamos con el intervalo [5,5, 11], que seguiría cumpliendo la hipótesis del teorema. ¿Por qué? En ese intervalo volveríamos a considerar su valor medio, y así sucesivamente.
   
   En el segundo caso, ya hemos encontrado el valor buscado.
   
   En el tercer caso, nos quedamos con el intervalo [0, 5,5], que seguiría cumpliendo la hipótesis del teorema. ¿Por qué? En ese intervalo volveríamos a considerar su valor medio, y así sucesivamente.
   
   Escribe la lista de los cinco intervalos siguientes de la sucesión de intervalos encajados que vamos obteniendo en el caso de F: [0, 11], [0, 5,5], [2,25, 5,5], ...

4. ¿A qué valor se aproximarán los dos extremos de estos intervalos? ¿Por qué? Como esa aproximación es sucesiva, ¿cuál será el valor límite que alcanzarán ambos extremos en una infinidad de pasos? Por otra parte, ¿a qué número se aproximará el valor de la función F en esos extremos? ¿Por qué? Como esa aproximación es sucesiva, ¿cuál será el valor límite que alcanzará la función F en una infinidad de pasos? Los valores de ambos límites demuestran el teorema de Bolzano. ¿Por qué?

5. Varía la posición de los puntos rojos y comprueba el teorema para distintas funciones.