Teorema de Weierstrass

Este teorema afirma que cualquier función F continua en un intervalo cerrado [a, b] tiene al menos un máximo y un mínimo absolutos en ese intervalo. Es decir, deben existir en [a, b] al menos dos valores m y M tales que:

F(m) ≤ F(x) ≤ F(M)

para todo valor x de [a, b].

Usa la aplicación y responde:

  1. La función F es continua en el intervalo [0,11]. La banda horizontal recorre el rango de F, en este caso el intervalo [1, 5]. ¿Qué puntos de la gráfica determinan esos valores? ¿Aproximadamente, a qué valores del intervalo [0,11] corresponden?

  2. Se puede realizar una demostración de este teorema usando el mismo método de intervalos encajados que se esbozó en el teorema de Bolzano. Por ejemplo, para demostrar que alcanza el mínimo, tomamos el valor medio del intervalo (que es 5,5). Pueden suceder dos cosas, que el mínimo se alcance en [5,5, 11] (con lo cual ya estaría demostrado) o que no. Supongamos que no. Volvemos a dividir en dos el intervalo restante [0, 5,5] y repetimos el proceso, convergiendo inexorablemente al valor en donde la función alcanza el mínimo.

    Escribe los dos intervalos siguientes en la siguiente sucesión de intervalos encajados que vamos obteniendo en el caso de F: [0, 11], [0, 5.5], [2,75, 5,5], ...

  3. Observa que el teorema dice que, si F es continua en el intervalo [a, b], entonces alcanza el máximo y el mínimo absolutos en ese intervalo, pero no ofrece información sobre cuáles son.

    ¿Cómo los podemos calcular? Para ello, debemos considerar tres clases de puntos y comparar los valores que alcanza F en ellos:

A) Los extremos a y b.
B) Las soluciones de igualar la derivada a 0 (puede tratarse de un extremo relativo suave).
C) Los valores de (a, b) para los que no exista derivada de F (puede tratarse de un extremo relativo anguloso).

Los extremos absolutos deben estar en alguna de estas tres clases. En nuestro ejemplo, ¿a qué tipo pertenecen los extremos absolutos de F?

  1. Varía la posición de los puntos rojos y comprueba el teorema para distintas funciones.