Usa la aplicación y responde:
La función F es continua en el
intervalo [0,11]. La banda horizontal recorre el
rango de F, en este caso el intervalo [1, 5]. ¿Qué puntos de la gráfica
determinan esos valores? ¿Aproximadamente, a qué valores del intervalo [0,11] corresponden?
Se puede realizar una demostración
de este teorema usando el mismo método de intervalos encajados que se
esbozó en el teorema de Bolzano. Por ejemplo, para demostrar que alcanza el
mínimo, tomamos el valor medio del intervalo (que es 5,5). Pueden suceder dos cosas,
que el mínimo se alcance en [5,5, 11] (con lo cual ya estaría demostrado) o
que no. Supongamos que no. Volvemos a dividir en dos el intervalo restante [0,
5,5] y repetimos el proceso, convergiendo inexorablemente al valor en donde
la función alcanza el mínimo.
Escribe los dos intervalos siguientes en la siguiente sucesión de
intervalos encajados que vamos obteniendo en el caso de F: [0, 11], [0,
5.5], [2,75, 5,5], ...
Observa que el teorema dice que,
si F es continua en el intervalo [a, b], entonces alcanza el máximo y el mínimo
absolutos en ese intervalo, pero no ofrece información sobre cuáles son.
¿Cómo los podemos calcular? Para ello, debemos considerar tres clases de
puntos y comparar los valores que alcanza F en ellos:
A) Los extremos a y b.
B) Las soluciones de igualar la derivada a 0 (puede tratarse de un extremo
relativo suave).
C) Los valores de (a, b) para los que no exista derivada de
F (puede tratarse
de un extremo relativo anguloso).
Los extremos absolutos deben estar en alguna de estas tres clases.
En nuestro ejemplo, ¿a qué tipo pertenecen los extremos absolutos de F?
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Varía la posición de los puntos rojos y comprueba
el teorema para distintas funciones.
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