El Teorema de Bolzano nos permite encontrar soluciones aproximadas de la ecuación f(x)=0, donde f(x) es una función continua. En efecto, dados dos puntos a y b tales que f(a) y f(b) tengan signos distintos sabemos, por el Teorema de Bolzano, que f(x) debe tener al menos una raíz en el intervalo [a; b]. 

En esta aplicación vamos a utilizar el método de bisección para encontrar soluciones aproximadas de una ecuación del tipo f(x)=0. El método consiste en dividir un intervalo [a; b] en el que f(x) cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano, usando un tercer punto: el punto medio del intervalo, $c=\frac { a+b }{ 2 } $. Si f(c)=0, entonces x=c será una solución de la ecuación; en caso contrario comparamos el signo de f(c) con el de f(a) y con el de f(b). De los subintervalos [a; c] y [c; b] tomamos aquel en el que los valores de la función en los extremos sean de distinto signo. En dicho subintervalo se encontrará, por tanto, una raíz de f(x), es decir, una solución de la  ecuación f(x)=0.

Aplicando el método de bisección tantas veces como sea necesario podremos encontrar un intervalo en el que se encuentre una solución de la ecuación con la precisión que se requiera. Para detener el método de bisección y dar una aproximación de la solución de la ecuación se pueden usar varios criterios (llamados criterios de parada). El criterio de parada que emplearemos en la aplicación consistirá en examinar si $\frac { \left| b-a \right|  }{ 2 } <\varepsilon $ donde ε es una tolerancia previamente establecida (por ejemplo ε=0,001).

Introducimos la función f(x) en la casilla de entrada situada en la parte superior de la ventana izquierda (al iniciarse la aplicación, la función es $f(x)=2x-3{ cos }^{ 2 }x$). Más abajo debemos introducir los extremos del intervalo a y b, teniendo en cuenta que f(x) debe ser continua en [a; b] y tener distinto signo en sus extremos. Activando la casilla Mejorar la aproximación, podemos aplicar sucesivamente el método de bisección, utlizando para ello el botón . En la ventana derecha se representa la función f(x) y podremos observar, con sucesivos acercamientos, el intervalo en el que se encuentra la solución que buscamos. Para volver a la situación inicial pulsamos el botón .

Usa la aplicación y responde:

1. ¿Por qué la ecuación $2x-3{ cos }^{ 2 }x=0$ tiene una solución en el intervalo [0,4]? Activa la casilla Mejorar la aproximación. Haz clic sucesivamente en el botón  hasta encontrar un intervalo con una solución de la ecuación  con un error ε<0,001.

2. Pulsa el botón . Utiliza el método de bisección para encontrar una solución aproximada de la ecuación $1+\cos { x }-\sqrt { x } =0$ con un error ε<0,0005. La expresión que debes introducir en la casilla de entrada ha de ser: 1 + cos(x) - sqrt(x)

3. Pulsa el botón . Halla una solución aproximada de la ecuación sen x − x + 1 = 0, con un error ε<0,0001. La expresión que debes introducir en la casilla de entrada ha de ser: sin(x) - x + 1

4. Pulsa el botón . Halla una solución aproximada de la ecuación x sen x − 1 = 0, con un error ε<0,001. La expresión que debes introducir en la casilla de entrada ha de ser: x sin(x) - 1

5. Pulsa el botón . Dada la ecuación: sen 3x − cos 4x = 0, halla la solución aproximada positiva más próxima a cero, con un error ε<0,001. La expresión que debes introducir en la casilla de entrada ha de ser: sen(3x) - cos(4x).

6. Encuentra una solución de la ecuación anterior, con la misma cota de error, en el intervalo [-1, 0]. ¿Podemos asegurar que esta ecuación tiene una solución en el intervalo [-2, -1]? ¿Por qué?