Producto escalar y ángulo de dos vectores

En esta actividad se trabaja con el producto escalar de dos vectores atendiendo a tres aspectos: su definición, su expresión analítica y su idea gráfica.

Conocidas las coordenadas de los dos vectores, la expresión analítica permite el cálculo del producto escalar, así como los módulos de los dos vectores. La definición del producto escalar nos permite entonces calcular el ángulo formado por los dos vectores.

La aplicación muestra, además de esos cálculos, la posición de los dos vectores en el espacio y también una perspectiva ortogonal al plano que determinan los mismos.

Los botones rotar y no rotar permiten animar o detener la rotación de toda la construcción en torno al eje vertical, lo que facilita la visión de los vectores desde diferentes perspectivas.

Usa la aplicación y responde:

  1. Pulsa el botón rotar y observa la posición de los vectores iniciales. Pulsando en ejes se visualizan los tres ejes de coordenadas cartesianas, lo que facilita la comprobación de las coordenadas de los dos vectores. En la parte de abajo a la izquierda se puede observar la posición de esos vectores desde una perspectiva perpendicular al plano determinado por ambos. Usa los deslizadores para modificar los módulos de los vectores iniciales (sin variar su dirección) y observa los cambios. ¿Cómo influye el valor de estos módulos en el resultado del producto escalar?

  2. Usa el deslizador para cambiar el ángulo entre los dos vectores y observa los cambios. Resume cómo influye el valor de ese ángulo en el resultado del producto escalar. En particular, qué relación existe entre el signo del producto escalar y ese ángulo.

  3. Observa el segmento rojo. Explica qué relación tiene con los dos vectores u y v. ¿Qué relación existe entre el valor absoluto del producto escalar y el módulo de del vector proyección de un vector sobre el otro?

  4. Pulsa sobre reinicia para recuperar los valores iniciales y luego sobre cambia coordenadas. Ahora podrás cambiar las coordenadas de los dos vectores desde las correspondientes casillas (y también arrastrando, en la zona gráfica, los puntos extremos de los vectores). Aprovéchalo para averiguar con qué vector forma un ángulo menor el de coordenadas (4, 0, 0), ¿con el (2, 1, 2) o con el (2, 0, 2)?

  5. Comprueba qué ángulo forman los vectores (2, -1, 0) y (1, -1, 2).

  6. Modifica las coordenadas de u y v hasta encontrar y visualizar dos vectores perpendiculares. Observa la posición de ambos vectores en la parte tridimensional. Encuentra otro vector perpendicular a v=(2, 1, 2). Encuentra un valor m para que el vector (m, 1, 3) sea perpendicular a (2, -1, 0).

  7. Encuentra y visualiza dos vectores diferentes que formen 180º con el de coordenadas (3, -1, 2). ¿Por qué crees que se deja de ver la perspectiva de abajo a la izquierda?