Triángulo en semiesfera

En esta actividad, en lugar de explorar un escenario donde ya hay figuras construidas, has de ser tú mismo quien  construya la figura a estudiar. Se trata de aprovechar las herramientas que GeoGebra facilita para el trabajo en Geometría tridimensional.

La construcción a realizar es la de un triángulo inscrito en una semiesfera, dos de sus vértices determinan un diámetro de la esfera y el tercer vértice está sobre esa superficie esférica.

La barra de herramientas de GeoGebra permite seleccionar muchas más de las que aparecen visibles (pulsando sobre cada una de ellas).

No dudes en explorar el funcionamiento del resto de botones y opciones disponibles para un manejo más enriquecedor de la aplicación.

Arrastrando con el botón derecho sobre la zona gráfica podrás ver toda la construcción desde diferentes perspectivas.

Construcción paso a paso:

  1. Construye un segmento (AB) sobre el plano horizontal.

  2. Dibuja su punto medio (C que será el centro de la esfera).

  3. Construye la esfera de centro C, pasando por A.

  4. Construye un nuevo punto sobre la superficie esférica (P en la figura de la introducción). Pulsando sobre el botón de la imagen podrás hacer rotar toda la construcción.
    rotar

    Otra forma de cambiar la perspectiva es mover con el botón derecho sobre la zona gráfica.

  5. Construye el triángulo de vértices A, B y P (o D en tu figura, si no le has cambiado el nombre).

  6. Visualiza los ángulos del triángulo. Si arrastras con el botón derecho sobre la zona gráfica podrás cambiar la perspectiva.

  7. Utiliza la herramienta principal (la primera por la izquierda, Elige y mueve) para mover cualquiera de los puntos anteriores. Observa los cambios.

Usa la aplicación y responde:

  1. ¿Observas algún resultado curioso? ¿Qué tienen en común todos los triángulos anteriores? Formula una conjetura.

  2. Intenta demostrarla utilizando las propiedades del producto escalar.