Teorema de Rolle

La hipótesis de este teorema es que contamos con una función f que es continua en un intervalo cerrado [ab], derivable en el intervalo abierto (ab) y cuyos valores en sus extremos f(a) y f(b) coinciden.

La tesis del teorema es que, en tal caso, la función derivada se anula en algún punto del intervalo (ab).

Observa que como el intervalo es cerrado, tiene sentido hablar tanto de f(a) como de f(b). Veremos que, intuitivamente, este enunciado es muy sencillo. Además, es fácil de demostrar usando el teorema de Weierstrass.

El teorema de Rolle nos garantiza que, en esas condiciones, debe existir al menos un cierto valor c del intervalo (ab) para el cual '(c) = 0. Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada sobre su cómo encontrarlo.

Usa la aplicación y responde:

  1. En la aplicación puedes ver cuatro ejemplos de funciones (en verde), todas ellas definidas en el intervalo [0, 11]. En naranja puedes ver la recta tangente en cada punto, y en azul la función derivada. Ninguna de las tres primeras cumple la tesis del teorema de Rolle. En cada uno de esos ejemplos, ¿cuál es la hipótesis del teorema que no se cumple?

  2. Comprueba que el cuarto ejemplo cumple las hipótesis del teorema de Rolle y por tanto también cumple la tesis. Intuitivamente, el teorema viene a decir que si partimos y llegamos a la misma altura (observa que f(0)=f(11)), es porque o bien hemos mantenido esa altura constante o bien hemos subido para luego bajar o bien hemos bajado para luego subir. ¿Por qué cualquiera de estos comportamientos garantiza la tesis del teorema? ¿Cuál de ellos es el que se muestra en la escena?

  3. Mueve los puntos rojos para comprobar el teorema de Rolle con otras funciones.