Integración de funciones racionales

En esta aplicación vamos a calcular integrales de funciones racionales. Aunque GeoGebra calcula directamente la integral de la función, en esta ocasión vamos a realizar el cálculo descomponiendo previamente la función en suma de fracciones simples.

Para realizar los ejercicios que se proponen puedes utilizar la segunda ventana, que aparece en blanco, o bien abrir el programa GeoGebra, utilizando la disposición CAS.

Usa la aplicación y responde (1):

  1. En la primera línea se ha introducido la función. Fíjate bien en un detalle: para la asignación de la función se utilizan los símbolos ":=" entre el nombre de la función, f(x), y su expresión algebraica. De ese modo, en las líneas siguientes para hacer cálculos con esta función bastará escribir su nombre: f(x).

  2. Hemos descompuesto la función en fracciones simples utilizando el comando FraccionesParciales. Para ello hemos escrito en la línea 2 FraccionesParciales[f] pulsando a continuación la tecla INTRO. Interpreta el resultado que hemos obtenido.

  3. A continuación nos hemos situado en la línea 3 y hemos hecho clic sobre el resultado obtenido en la línea anterior. De ese modo copiamos ese contenido en la línea 3. Desplegamos la herramienta derivada y seleccionamos integral Integral. Interpreta el resultado que hemos obtenido.

  4. Finalmente hemos calculado directamente la primitiva de la función f(x) con el comando Integral. Para ello hemos escrito Integral[f] pulsando a continuación la tecla INTRO. Compara el resultado obtenido con el que obteníamos descomponiendo en fracciones simples.

  5. Observa detenidamente cómo se han resuelto las siguientes integrales mediante la descomposición en fracciones simples.

Usa la aplicación y responde (2):

  1. Calcula las primitivas de las siguientes funciones racionales:

    1. $ \displaystyle f(x)=\frac { 2x-1 }{ {x}^{2} -3x+2 } $

    2. $ \displaystyle f(x)=\frac { x }{ {x}^{3} + 3{x}^{2} - 13x -15 } $

    3. $ \displaystyle f(x)=\frac { {x}^{5}+{x}^{4}-8 }{ {x}^{3} -4x } $

    4. $ \displaystyle f(x)=\frac { x + 5 }{ {x}^{2} + 3x + 5 } $

    5. $ \displaystyle f(x)=\frac { 2x + 3 }{ {x}^{3} - 2{x}^{2}+4x-8 } $

    6. $ \displaystyle f(x)=\frac { 2{x}^{3}+1 }{ {x}^{4} + 2{x}^{2}+1 } $