Área bajo una curva (2)

Ya en la Grecia clásica, el genial Arquímedes ideó un método para calcular el área de figuras curvas como suma de infinitos rectángulos finísimos. Pasarían más de 2000 años hasta que Newton y Leibniz retomasen el método de Arquímedes y lo mejorasen mediante el cálculo infinitesimal. En esta actividad se trabajan los mismos dos ejemplos utilizados en el libro de texto para ilustrar el citado método, con la ventaja de poder visualizar un número variable de rectángulos. Ten en cuenta que cuando aumenta el número de rectángulos no se pueden visualizar en la pantalla todos los términos de las sumas. A pesar de ello el resultado final de la suma es el correcto.

Usa la aplicación y responde:

  1. Observa la figura inicial. Cambia el valor de n a 5 y observa los cambios.

  2. Justifica las cuatro fórmulas donde se calcula la suma de las áreas de los cinco rectángulos sombreados. 

  3. Comprueba cómo se cumple la fórmula que permite calcular la suma de los primeros cuadrados: $ 1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2 = \frac { 1}{6} n (n+1) (2n+1) $ para el valor de n = 5 y para otro valor de n que tú elijas.

  4. Haz que n tome valores mayores y describe los cambios que observes. Halla el $ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6n^{ 3 } } $ y explica por qué ese es el valor del área limitada por la curva, el eje horizontal y la vertical x = 1.

  5.   ¿Cómo es posible que una suma de infinitos sumandos tenga un valor finito?

  6. Pulsa el botón ej2 y describe la nueva figura. Justifica la fórmula en la que se calcula el valor de S4. Describe las similitudes y las diferencias con la figura inicial.

  7. ¿Cuál estimas que es el valor del área limitada por la gráfica de $ f(x)=e^{-x} $ , el eje horizontal y las rectas verticales  x = 0 y x = 2?