En esta aplicación vamos a calcular rangos de matrices utilizando la Vista de Cálculo Simbólico de GeoGebra. El comando que hemos de emplear es RangoMatriz[M], que nos devolverá un valor numérico: el rango de la matriz M. Veamos un ejemplo. Los elementos de la matriz pueden introducirse directamente entre los corchetes de la expresión, aunque es más aconsejable definir previamente la matriz. Sea de un modo u otro, hemos de tener en cuenta que la matriz se introduce por filas. Cada fila estará encerrada entre llaves y con los elementos separados por comas. A su vez, las filas de la matriz también estarán separadas por comas y encerradas entre llaves.

Supongamos que se trata de calcular el rango de la matriz:

$$\left[ \begin{matrix} 1 & −2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & −3 \\ 5 & 0 & 5 & −6 \end{matrix} \right] $$

• Podemos calcular directamente el rango:

• Escribimos: RangoMatriz[{{1, −2, 3,0},{2, 1,1,−3},{5,0,5,−6}}] y pulsamos la tecla INTRO

• De ese modo lo que nos mostraría la vista CAS sería:

• O podemos definir previamente la matriz y, a continuación, calcular su rango:

• Escribimos:  A:={{−2, 1,0},{1,4,−3},{7,−5,2}} y pulsamos la tecla INTRO

• En la siguiente línea escribimos: RangoMatriz[A] y pulsamos la tecla INTRO

• Al hacerlo lo que veremos en la vista CAS será:

Cuando hemos de hacer varios cálculos con la misma matriz es conveniente utilizar el segundo procedimiento, que nos ahorra bastante tiempo y errores.

En la primera de las ventanas se presenta un ejemplo resuelto de estudio del rango de una matriz en función de un parámetro. Más abajo, en la ventana en blanco, deberás resolver los ejercicios que se proponen. También puedes resolver los ejercicios directamente con el programa GeoGebra, eligiendo la disposición CAS.

Observa la aplicación:

1. En la primera línea se ha introducido la matriz, a la que hemos denominado M. Fíjate bien en un detalle: para la asignación de la matriz se utilizan los símbolos ":=" entre el nombre de la matriz,  M, y su expresión. De ese modo, en las líneas siguientes para hacer cálculos con esta matriz bastará escribir su nombre. Ten en cuenta esta recomendación para alguno de los ejercicios que debes realizar más abajo.

2. A continuación  hallamos los valores de x que anulan el menor de la matriz formado por sus 3 primeras columnas. Obviamente para los valores que no lo anulan el rango de la matriz M será 3, puesto que dicho menor, de orden 3, será distinto de cero. Para ello, en la segunda línea, hemos utilizado el comando Determinante[] para calcular el menor y la herramienta  para hallar los valores que lo anulan:

• Escribimos el comando Determinante[]

• Entre los corchetes escribimos la matriz formada por las 3 primeras columnas de M (podemos escribir directamente el menor o bien copiar la matriz M, pegarla y borrar el cuarto elemento de cada fila).

• Pulsamos sobre la herramienta  para resolver la ecuación que resulta de igualar el determinante a cero.

3. En las dos líneas siguientes hemos hallado el rango de la matriz M para los valores de x que anulan el determinante. En cada caso hemos utilizado el comando RangoMatriz[] que hemos aplicado a la matriz que resulta de sustituir x por -1 y 3, respectivamente, en la matriz M. Para ello empleamos el comando Sustituye[], cuyo primer argumento es M, el segundo la variable que sustituimos, en este caso x, y el tercero el valor por el que sustituimos, que es -1 en el primer caso y 3 en el segundo.

4. Finalmente escribimos las conclusiones: el rango de M es 3 para cualquier valor de x distinto de -1.

Usa la aplicación y responde (2):

1. Halla el rango de las siguientes matrices:

2. Estudia, en función del valor del parámetro, el rango de las siguientes matrices:

3. Halla el valor de k para que el rango de la siguiente matriz sea 2: