La primera referencia a la proporción áurea que se conoce la hace Euclides en su obra Los Elementos. Plantea la división de un segmento en dos partes, que denomina su media y su extrema razón, del siguiente modo:

"Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor"

El valor de esta razón se conoce también como número de oro y suele representarse con la letra griega Φ (se lee Fi), en honor al escultor griego Fidias, que lo tuvo presente en sus obras.

Seguramente Euclides jamás pudo imaginar que esa división de un segmento, que definía únicamente para propósitos geométricos, llegaría a alcanzar tanta relevancia en la historia de la humanidad. Tal era la atracción que ejercía que Luca Pacioli, matemático italiano del siglo XV, la denominó divina proporción.

Podemos encontrarla en múltiples situaciones, que van de las artes a las ciencias, apareciendo como canon de belleza o ligada al crecimiento de especies vegetales o animales o, incluso, en la estructura de las galaxias. Esta proporción ha fascinado no solamente a muchos grandes matemáticos a lo largo de la historia, sino también a biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos e incluso místicos.

Usa la aplicación y responde:

1. Mueve el punto amarillo que divide al segmento en dos partes. Observa las distancias de dicho punto a los extremos del segmento y compara la razón entre la longitud total del segmento y la de su parte mayor y la razón entre esta y la de su parte menor. ¿Puedes conseguir que ambas razones sean iguales? ¿Cuánto vale la razón, aproximadamente, en esa situación? Has encontrado un valor aproximado de la proporción áurea.

2. El valor exacto de la razón áurea se puede calcular  (aunque ahora no conoces todavía las herramientas matemáticas que permiten hacerlo) y es igual a:

Efectúa ese cálculo con tu calculadora. ¿Obtienes un valor exacto? Escribe un valor aproximado, con 3 cifras decimales.

3. Haz clic sobre la casilla "Rectángulo 1". Desplaza el punto amarillo y observa cómo varía la forma del rectángulo. ¿Qué relación tienen sus dimensiones con la división que hacemos en el segmento?

4. Cuando la razón entre los lados de un rectángulo es el número de oro se le denomina rectángulo áureo o rectángulo de oro. Mueve el punto amarillo hasta obtener un rectángulo de oro. ¿Cuáles son sus dimensiones?

5. Haz clic sobre la casilla "Rectángulo 2". Aunque los ves colocados en diferente posición, los dos rectángulos que aparecen son iguales. Fíjate en la recta roja trazada sobre la diagonal del rectángulo verde. Mueve el punto amarillo y observa la posición de la recta roja con respecto al rectángulo amarillo. ¿Qué ocurre cuando las dimensiones del rectángulo están en la proporción áurea? ¿Qué significado tiene?

6. El ejercicio anterior nos proporciona una forma muy sencilla de comprobar si un rectángulo dado es un rectángulo áureo. Muchos objetos que manejamos habitualmente tienen dimensiones que mantienen proporciones cercanas al número de oro, con lo que el método anterior nos va a permitir identificarlos. Vamos a ponerlo en práctica en varios casos. Haz clic en el botón  Reiniciar. Activa la casilla Imágenes. Activa ahora la casilla "Tarjeta de crédito". Coloca las imágenes en la posición del ejercicio anterior. A continuación coloca la recta sobre la diagonal de la imagen horizontal, desplazando los puntos libres de la recta a los vértices de dicha diagonal. ¿Es un rectángulo áureo?

7. Activa la casilla "Rectángulo áureo". Utiliza ahora este rectángulo para comprobar si la tarjeta de crédito se aproxima a un rectángulo de oro. Para ello haz coincidir los vértices móviles del  rectángulo áureo con la imagen apaisada de la tarjeta de crédito y comprueba si coinciden ambos rectángulos.

8. Desactiva las casillas "Tarjeta de crédito" y "Rectángulo áureo" y activa la casilla DNI. Repite el procedimiento anterior y comprueba si el DNI electrónico es un rectángulo de oro. Sigue después el mismo procedimiento para comprobar si las dimensiones de la fotografía y del cuadro La última cena de Salvador Dalí están en la proporción áurea.

9. Desactiva la casilla Imágenes. Activa ahora la casilla "Rectángulo 1" y a continuación la casilla "Rectángulo 3". Observa que se ha dividido el rectángulo ABCD en un cuadrado APED y otro rectángulo PBCE. Mueve el punto amarillo y comprueba que cuando el rectángulo ABCD es un rectángulo áureo, el rectángulo PBCE también lo es.