Razones de áreas, perímetros y volúmenes

En Matemáticas, se llama razón al cociente entre dos magnitudes. Cuando dos figuras son semejantes, es decir tienen la misma forma pero diferente tamaño, se llama razón de semejanza al cociente entre dos longitudes correspondientes.

Pero de ahí no puede deducirse que el cociente entre las áreas de dos figuras semejantes coincida con la razón de semejanza. ¿Y la razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes?

Mejor lo compruebas tú mismo en esta actividad.

Usa la aplicación y responde:

  1. Observa los dos prismas de la parte derecha de la aplicación. ¿Cuáles son sus dimensiones (cuánto miden de ancho, largo y alto)? 

  2. Prueba a modificar (mediante el correspondiente deslizador) el valor de k ¿Qué relación hay entre el valor de k y esas dimensiones?

  3. Vuelve a la situación inicial (con k = 2) y observa en la parte izquierda las bases rectangulares de cada prisma. Razona cuanto mide el perímetro de cada una de esas bases. ¿Y para k = 3,5? ¿Y para k = 10? (Habrás de imaginar el prisma resultante pues la aplicación no permite valores tan grandes)

  4. Razona ahora cuál es el valor del área de la base de cada prisma... para k = 2, para k = 3, para k = 5 y para k = 10. ¿Cuál es la razón (el cociente) entre las dos áreas ... para k = 2, para k = 3, para k = 5, para k = 10? ¿Y para cualquier valor de k?

  5. ¿Y si se comparan, en lugar de las áreas de las bases, las áreas totales de cada par de prismas semejantes? Razona lo que ocurrirá.

  6.  Visualiza un prisma de dimensiones 1, 2 y 3 y otro semejante con razón de semejanza 2. Razona cuál es el volumen de cada uno de ellos. ¿Cuántos como el pequeño cabrán dentro del grande? ¿Y si las dimensiones del pequeño son 2, 3 y 5? Comprueba el cociente entre sus volúmenes.

  7. Visualiza dos prismas con razón de semejanza k = 3. Razona cuál será la razón entre sus volúmenes.

  8. Visualiza un cubo de arista 1. Cambia el valor de k para visualizar un cubo de volumen lo más próximo posible a 2 unidades. Razona cuál debería ser el valor de k para que el volumen fuese exactamente 2.

  9. ¿Cuánto mayor debe ser una naranja para esperar de ella el doble de zumo que de otra?