Dualidad de poliedros regulares 3: dodecaedro e icosaedro

La aplicación muestra un dodecaedro cuyo tamaño puede modificarse desde el deslizador que aparece en la parte superior de la ventana izquierda. ¿Qué poliedro se obtiene al unir los centros de sus caras?

Para cambiar la perspectiva de la escena basta con arrastrar la vista tridimensional con el botón derecho del ratón o pulsar el botón de animación automática.

Usa la aplicación y responde:

  1. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene el poliedro que se obtiene al unir los centros de las caras del dodecaedro? ¿Qué polígono forma cada cara? Selecciona la casilla Poliedro dual para comprobarlo. El dodecaedro tiene 12 caras y 20 vértices. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene el icosaedro?

  2. Selecciona la casilla . Mediante una ampliación, el icosaedro y dodecaedro se muestran con aristas perpendiculares que se cortan en sus puntos medios.

  3. Puede construirse un nuevo poliedro como intersección de ambos. Describe sus caracteristicas, número y forma de sus caras, número de vértices y de aristas. Selecciona la casilla Intersección para comprobar si el razonamiento ha sido correcto. El poliedro que se obtiene, llamado icosidodecaedro, toma su nombre de icosaedro y dodecaedro. El icosidodecaedro es un poliedro semirregular, ya que sus caras son dos tipos de polígonos regulares, pentágonos regulares y triángulos equiláteros. Observa que tiene 12 pentágonos como el dodecaedro y 20 triángulos como el icosaedro.

  4. Describe el tipo de poliedro que se obtiene al unir los vértices de dodecaedro e icosaedro. ¿Son sus caras polígonos regulares? ¿Son todas iguales? Selecciona la casilla Envolvente para comprobarlo. El poliedro que se obtiene recibe el nombre de triacontaedro rómbico.

  5. Selecciona ahora las casillas Oculta dodecadro y Oculta icosaedro manteniendo seleccionadas las otras dos. ¿Cómo son entre ellos estos dos nuevos poliedros? El icosidodecaedro tiene 30 vértices y 32 caras (20 triángulos y 12 pentágonos). Calcula el número de caras, vértices y aristas del triacontaedro rómbico.

  6. Pulsa el bóton y repite los pasos anteriores comprobando que se obtienen los mismos resultados.