La media aritmética y la desviación típica son los parámetros más utilizados para resumir una colección de datos. La media es el valor que resulta de compensar unos datos con otros, para conseguir que todos los datos sean iguales. También podríamos decir que es el valor que resulta de repartir por igual el total entre todos. Por ello, desde un punto de vista gráfico, la media aritmética coincide con el "punto de equilibrio" del histograma o del diagrama de barras, en su caso. De modo que podríamos situar a la media en la proyección de su centro de gravedad sobre el eje horizontal.

Por su parte la desviación típica nos proporciona información sobre cómo están distribuidos los datos alrededor de la media: lo alejados (dispersos) o cercanos (centrados) que estén de la misma. La forma de la gráfica nos permitirá, por tanto, hacernos una idea aproximada del valor de la desviación típica de la distribución que se representa.

Además, una característica común a gran parte de las distribuciones estadísticas es que algo más de las dos terceras partes de sus datos están contenidos en el intervalo comprendido entre la media menos la desviación típica y la media más la desviación típica. En tales distribuciones podemos estimar el valor de la desviación típica a partir de la gráfica de la distribución, evaluando la zona centrada en la media que abarque algo más de dos tercios del "área" del histograma o diagrama de barras correspondiente.

En esta aplicación trataremos de encontrar la relación entre los valores de la media aritmética y de la desviación típica de un conjunto de datos y la forma del histograma que la representa. En todos los casos trabajaremos con el conjunto de datos formado por las notas de los 20 estudiantes de una clase en un examen de Matemáticas.

Usa la aplicación y responde:

1. Activa las casillas Mostrar la media aritmética y Mostrar la desviación típica. Cambia algunos datos del diagrama: para ello sitúa el ratón sobre la base de una barra y, manteniendo pulsado el botón izquierdo, arrastra el ratón de una barra a otra. Observa que al hacerlo se modifica también la tabla de frecuencias. ¿Qué efecto tienen los cambios que haces en los valores de la media aritmética y de la desviación típica?

2. Pulsa el botón  para reiniciar la aplicación. Mueve los datos que consideres oportuno para conseguir que la media aritmética de la distribución sea 6. Cuando estés seguro de tu resultado, activa la casilla Mostrar la media aritmética para comprobarlo. Escribe en el cuaderno la tabla de frecuencias y copia también el histograma.

3. Utiliza ahora tu calculadora para hallar el valor de la desviación típica de la distribución que has obtenido en el ejercicio anterior. Activa la casilla Mostrar la desviación típica y comprueba tu resultado.

4. ¿Puedes conseguir otras distribuciones diferentes que también tengan de media 6? Observa en cada caso la tabla de frecuencias, ¿qué es lo que se mantiene constante en todos los casos? ¿Tienen todas las distribuciones de media 6 que has encontrado la misma desviación típica? Justifica tus respuestas y pon ejemplos aclaratorios.

5. Pulsa el botón . ¿Puedes cambiar un solo dato de la distribución de modo que la media aritmética no varíe? En caso afirmativo pon algún ejemplo aclaratorio. En caso negativo, justifica tu respuesta.

6. Pulsa nuevamente el botón . Modifica solamente dos datos de la distribución de modo que la media aritmética no varíe. Explica cómo lo has hecho. ¿Qué ha ocurrido con la desviación típica? ¿También permanece constante? Comprueba tus resultados activando las casillas Mostrar la media aritmética y Mostrar la desviación típica.

7. Si cambiamos solamente dos de los datos de la distribución, ¿cómo ha de hacerse la modificación para que la desviación típica disminuya? ¿Y para que aumente? Justifica tus respuestas y pon ejemplos aclaratorios.

8. Pulsa el botón . Cambia los datos de modo que consigas una distribución de media 5 y que tenga la menor desviación típica posible. ¿Puedes conseguir que la desviación típica sea cero? ¿Qué distribución te ha resultado? Comprueba tus resultados activando las casillas Mostrar la media aritmética y Mostrar la desviación típica.

9. Pulsa sobre el botón . Mueve ahora los datos de modo que consigas una distribución de media 5,5 y que tenga la mayor desviación típica posible. ¿Qué distribución te ha resultado? Comprueba tus resultados activando las casillas Mostrar la media aritmética y Mostrar la desviación típica.

10. En los dos ejercicios anteriores habrás podido comprobar cómo iba cambiando la forma del gráfico a medida que modificabas los valores para que la desviación típica aumentase o disminuyese. ¿Encuentras alguna relación entre la forma de la gráfica y el valor de la desviación típica?