La magia de los números 1

El matemático francés Le Lionnais cuenta en uno de sus libros su experiencia cuando era pequeño. Una tarde de verano colocó la lista de los números del 1 al 9. Debajo de cada uno puso la última cifra de su cuadrado. La secuencia que obtuvo le sorprendió. Haz en tu cuaderno las dos listas, en la línea superior del 1 al 9 y, debajo de ella, la de las cifras en las que acaban sus cuadrados.

Ve a la aplicación. Utiliza el deslizador y los botones para ir avanzando en los pasos después de ir realizando los trabajos que se proponen. El paso 1 te muestra las últimas cifras de los cuadrados de los números 1 a 5. Después el paso 2 completa la lista de los cuadrados para que puedas revisar la tuya.



Usa la aplicación y responde:

  1. La lista de las últimas cifras de los cuadrados es muy llamativa. ¿Podrías describir con algunas frases las características especiales de esa línea?

  2. Le Lionnais, animado por las coincidencias que había visto en los cuadrados, se puso a hacer una nueva lista con la última cifra de cada cubo. Hazla en tu cuaderno en la línea inferior a la de los cuadrados. En el paso 3 de la aplicación la puedes revisar. ¿Detectas algo especial en la nueva lista?. Observa la paridad, la posición de los números, posibles operaciones con ellos.

  3. Lionnais siguió con las cuartas potencias. Otra vez sorpresa (Paso 4). Busca relaciones especiales también en esta línea.

  4. Siguió buscando nuevas relaciones en las potencias. Llegó a pensar que podría dedicar mucho tiempo a encontrar listas y más listas de números y seguirían apareciendo relaciones interesantes. Sin embargo su desilusión llegó pronto, ocurrió al escribir la lista con la última cifra de las quintas potencias (paso 5). ¿Por qué crees que ya no encontraría nuevas listas interesantes?. Construye las listas de las potencias 5, 6, 7 y 8.

  5. ¿Puedes encontrar una forma para saber qué lista encontrarás en las potencias 127 de los números?, ¿y en las potencias 3410?

     

  6. En la parte inferior de esta página tienes algunas ideas para responder a estas preguntas. Cuando tengas tus propias respuestas, compáralas con las que se te ofrecen ahí.

































Algunas ideas:

La fila de las últimas cifras de los cuadrados tiene simetría axial: a un lado y otro del 5 eoncontramos los números. Si componemos un número de nueve cifras diríamos que es capicúa.

La fila de los cubos no es simétrica, pero tiene algo muy interesante: el primero (1) y el último (9) suman 10, igual que el segundo (8) y el penúltimo (2), y así hasta llegar a 5+5=10. Observa que esta relación también la encontramos en la primera lista, la de los números naturales del 1 al 9. Podiamos decir que "la suma de los opuestos" es siempre 10. Algo más, en la filade los cubos encontramos los nueve números de nuevo, como en la primera, aunque algo desordenados, con pequeños intercambios entre ellos.

La de las cuartas potencias vuelve a ser simétrica pero ahora con menos cifras, solo unos y seises a los dos lados del 5.

Las quintas potencias, es la misma lista que la primera, con lo que a partir de aquí las filas se repetirán de cuatro en cuatro. Esto permite obtener la fila 127, la 3410 o cualquier otra.

Todas las filas tienen una característica adicional, todas alternan pares e impares. Es más, las columnas de los números impares siempre contendrán impares, y ocurre lo mismo con las columnas de los números pares