Imagina que disponemos de una cuadrícula formada por 4x7 cuadrados, como la que aparece dibujada más abajo. Sobre esa cuadrícula podemos dibujar muchos cuadriláteros con la condición de que tengan sus lados sobre las líneas de la cuadrícula. Podemos dibujar cuadrados y rectángulos de dimensiones 1x1, 1x2, 2x1, 2x2... etc. Y además de cada una de esas dimensiones habrá más de una posibilidad: por ejemplo, es fácil ver que es posible dibujar 28 cuadrados de dimensiones 1x1.  La pregunta que nos podemos plantear es, ¿cuántos cuadriláteros podremos dibujar sobre las líneas de una cuadrícula de 4x7 cuadrados?

Dibujarlos y contarlos uno a uno resultaría una tarea lenta y aburrida. Por eso vamos a proponernos hacer algo mucho más interesante: buscar un método general que nos permita calcular no solamente cuántos cuadriláteros hay en esta cuadrícula, sino en una cuadrícula cualquiera.  Se trata por tanto de encontrar una fórmula que nos permita calcular el número total de cuadriláteros a partir de las dimensiones de la cuadrícula (el número de cuadrados que tiene a lo largo y a lo ancho).

Utilizando los deslizadores de la ventana superior podremos variar las dimensiones de la cuadrícula. Activando las casillas de control de la ventana inferior podremos comprobar  nuestros resultados.

Usa la aplicación y responde:

1. Estudia algunos casos particulares más sencillos. Empieza por lo más fácil: ¿cuántos cuadriláteros se pueden formar en una cuadrícula de 1x1? ¿Y si fuera de 2x1? ¿Y en una de 3x1? ¿Y en la de 4x1? Haz tus propios cálculos y compáralos con los que obtienes en la aplicación.

2. Trata ahora de encontrar una fórmula que te permita calcular el número de cuadriláteros de una cuadrícula mx1 a partir del valor de m.

3. Estudia ahora cuadrículas de anchura 2 y longitud variable. ¿Cuántos cuadriláteros podemos formar en una cuadrícula de 2x2? ¿Y en una de 3x2? ¿Y en la de 4x2?

4. Lleva los resultados que has obtenido a una tabla como la  representada a continuación, en la que las cabeceras son las dimensiones de la cuadrícula.
   

5. Analiza la tabla: trata de encontrar alguna regularidad en ella, alguna relación entre los números que has introducido. ¿Sabrías seguir completándola, sin tener que hacer el recuento de cuadrados?  Inténtalo: haz tu propia conjetura.

6. Comprueba tu conjetura con la aplicación: haz el recuento en algunos casos más y comprueba que obtienes lo que esperas. Si no llegas al resultado esperado, vuelve a revisar la tabla y haz una nueva conjetura. Repite el proceso hasta que tus resultados queden contrastados con los que te confirma la aplicación.

7. Intenta traducir al álgebra el procedimiento que has utilizado para encontrar esos valores, ¿sabrías encontrar ahora una fórmula general para ir completando la tabla?

8. Pon a prueba tu fórmula: haz algunos cálculos utilizando tu fórmula y comprueba los resultados en la aplicación.