Tres puntos de vista y una ecuación

Esta aplicación te ayudará a visualizar tres puntos de vista diferentes de cómo abordar un mismo problema. Cada punto de vista enfoca el problema de modo distinto porque utiliza diferente información implícita en el enunciado. Sin embargo, los tres enfoques conducen a una misma ecuación. El problema es el siguiente:

Un rectángulo mide 10 cm de largo y 4 cm de alto. Sobre uno de los lados mayores se coloca un punto, como indica la figura. ¿A qué distancia de los extremos de ese lado habrá que colocar el punto para que el ángulo que forma con los extremos del lado opuesto sea un ángulo recto?

Usa la aplicación y responde:

  1. Primero, observa la figura e intenta resolver el problema sin ayuda.

  2. Activa ahora la casilla del punto de vista 1. Para que el ángulo sea recto, el triángulo violeta debe ser rectángulo, por lo que debe cumplir el teorema de Pitágoras. Observa que los catetos de este triángulo son a su vez las hipotenusas de los triángulos rectángulos verdes. Intenta deducir de esta información la ecuación:

  3. x2 + 42 + (10 x)2 + 4= 102

    que equivale a:

    x2 10 x + 16 = 0

  4. Comprueba que la ecuación anterior tiene dos soluciones: 2 y 8.

  5. Desactiva la casilla del punto de vista 1 y activa la del punto de vista 2. Observa que cuando el ángulo azul sea recto, los ángulos verdes serán iguales, así que los triángulos rectángulos verdes serán proporcionales:

  6.  $\frac{4}{x}$ = $\frac{10−x}{4}$

    Comprueba que esta ecuación equivale a la ecuación del apartado 2.

  7. Desactiva la casilla del punto de vista 2 y activa la del punto de vista 3. Para que el ángulo azul sea recto, el punto P debe situarse sobre la semicircunferencia naranja, centrada en el punto medio del lado OA. ¿Por qué?

  8. Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo amarillo:

    (5 x)2 + 42 = 52

    Comprueba que esta ecuación equivale a la ecuación del apartado 2.

  9. Intenta resolver el problema para un rectángulo de dimensiones 12x6 y para otro de dimensiones 10x6.

  10. Comprueba que la ecuación del apartado 2, para dimensiones cualesquiera a y b del rectángulo, es:

    x2 ax + b2 = 0

  11. ¿Cuándo no tiene solución esta ecuación? ¿Cuando tiene solución única? Con la casilla del punto de vista 3 activada, intenta explicar por qué pasa eso.