Primero,
observa la figura e intenta resolver el problema sin ayuda.
Activa ahora la
casilla del punto de vista 1. Para que el ángulo sea recto,
el triángulo violeta debe ser rectángulo, por lo que debe
cumplir el teorema de Pitágoras. Observa que los catetos
de este triángulo son a su vez las hipotenusas de los
triángulos rectángulos verdes. Intenta deducir de esta información
la ecuación:
x2 + 42 + (10 − x)2 +
42 = 102
que equivale a:
x2 − 10 x
+ 16 = 0
Comprueba que
la ecuación anterior tiene dos soluciones: 2 y 8.
Desactiva la
casilla del punto de vista 1 y activa la del punto de vista
2. Observa que cuando el ángulo azul sea recto, los ángulos
verdes serán iguales, así que los triángulos rectángulos
verdes serán proporcionales:
$\frac{4}{x}$
=
$\frac{10−x}{4}$
Comprueba que
esta ecuación equivale a la ecuación del apartado 2.
Desactiva la
casilla del punto de vista 2 y activa la del punto de vista
3. Para que el ángulo azul sea recto, el punto P debe
situarse sobre la semicircunferencia naranja, centrada en el
punto medio del lado OA. ¿Por qué?
Aplica el
teorema de Pitágoras al triángulo amarillo:
(5 − x)2
+ 42 = 52
Comprueba que
esta ecuación equivale a la ecuación del apartado 2.
Intenta
resolver el problema para un rectángulo de dimensiones 12x6
y para otro de dimensiones 10x6.
Comprueba que
la ecuación del apartado 2, para dimensiones cualesquiera
a y b del rectángulo, es:
x2 − ax
+ b2 = 0
¿Cuándo no tiene
solución esta ecuación? ¿Cuando tiene solución única? Con la
casilla del punto de vista 3 activada, intenta explicar por qué
pasa eso.