La matemática argentina Vera de Spinadel puso el nombre de números metálicos a la familia de números formada por las raíces positivas de las ecuaciones de la forma: x² = p x + q, o su equivalente: x² − p x − p = 0, donde p y q son números enteros positivos.

Algunos números metálicos tienen nombre propio y son muy conocidos. El más famoso de todos ellos se obtiene cuando p = 1 y q = 1. En tal caso la ecuación que nos resulta es: x² − x − 1 = 0, cuya raíz positiva es el número de oro:

Pero el número de oro no es el único número metálico que tiene nombre propio, en la siguiente tabla puedes ver algunos más, así como los valores de p y q en la ecuación general para obtenerlos:

Algunas propiedades comunes de los números metálicos son fundamentales en campos actuales de la investigación sobre la estabilidad de sistemas físicos, desde la estructura interna del ADN hasta las galaxias astronómicas.

Recibe el nombre de rectángulo de oro aquel en el que la razón entre sus lados es el número de oro. Análogamente podemos hablar de los rectángulos de plata, bronce, cobre... cuando la razón entre los lados del rectángulo es, respectivamente, el número de plata, cobre, bronce...

Podemos obtener gráficamente las raíces de la ecuación x² = p x + q  representando simultáneamente la parábola y=x² y la recta y=p x + q. Las abscisas de los puntos de intersección entre la recta y la parábola serán las raíces de la ecuación. El número metálico correspondiente se corresponderá con la raíz positiva, es decir, con  la abscisa del punto de intersección situado en el primer cuadrante.

Usa la aplicación y responde:

1. Observa atentamente la construcción. ¿Cuál es la ecuación de la parábola que aparece dibujada? ¿Y la de la recta? ¿Por qué los puntos de intersección de la recta con la parábola nos permiten calcular las raíces de la ecuación x² – p x – q = 0?

2. Completa la siguiente tabla. Para ello resuelve la ecuación x² − p x − q = 0 para los valores de p y q que en cada caso corresponden y, a continuación, comprueba tus resultados con la aplicación:

3. ¿Podemos expresar siempre en forma decimal el valor exacto de un número metálico? ¿Por qué?

4. ¿Qué relación debe existir entre p y q para que el número metálico σ_p,q sea un número entero?

5. Prueba que σ_4,4 = 2 σ_2,1

6. Prueba que: σ_4,1= Φ³