Números poligonales

Pitágoras y sus discípulos utilizaban piedrecillas (en latín calculus) o marcas que disponían según determinadas formas geométricas. De ese modo podían asociar números y formas, cambiar estas y observar lo que ocurría con los respectivos números, relacionar unas formas con otras, unos números con otros, etc. En definitiva, trabajaban con la forma y el número a la vez. Los resultados fueron extraordinarios y permitieron descubrir importantes teoremas y relaciones.

Llamaban triangulares a los números que correspondían a disposiciones de piedrecillas formando triángulos:

tri


Llamaban cuadrados a aquellos números que se obtenían al distribuir puntos o piedrecillas de modo que la imagen obtenida fuese la de un cuadrado:

cua


Daban el nombre de rectangulares u oblongos a los números que se obtenían al distribuir las piedrecillas de modo que se obtuviesen determinados rectángulos:

rec


De forma análoga, los números pentagonales estaban asociados con la forma de pentágono. De forma análoga definían los números hexagonales, octogonales, etc. A lo largo de la historia ilustres matemáticos como Gauss o Euler también dedicaron su tiempo al estudio de los números poligonales.

Usa la aplicación y responde:

  1. Haz clic sobre el botón Rectangular de la parte izquierda de la pantalla (observa que el rótulo del botón ahora es de color rojo). Mueve el deslizador inferior y observa la formación de los números rectangulares. Haz clic sobre la casilla Tabla de valores y completa la segunda columna (Rectangular) de la tabla siguiente:

n

Rectangular

Triangular

Cuadrado

Pentagonal

Hexagonal

1




2




3




4




5




6




7




8




9




10




  1. Si tomamos como dimensiones de cada uno de los rectángulos el número de círculos que lo forman, a lo largo y a lo ancho, ¿qué dimensiones tiene el rectángulo que corresponde al número rectangular 1º? ¿Y el rectángulo del número rectangular 2º? ¿Y el del 3º? ¿Y el del 10º? ¿Y el del número rectangular 100º? ¿Cómo puedes calcular el número rectangular a partir de las dimensiones del rectángulo correspondiente?

  2. ¿Qué dimensiones tendrá el rectángulo que ocupa el lugar n? ¿Qué fórmula podemos utilizar para calcular el número rectangular que ocupa el lugar n? Completa:

R(n) = ........

  1. Desactiva el botón Rectangular, haciendo clic nuevamente sobre él (observa que el rótulo vuelve a tener color negro) y haz clic sobre el botón Triangular. Mueve el deslizador inferior y observa la formación de los números triangulares. Haz clic sobre la casilla Tabla de valores completa la tercera columna (Triangular) de la tabla de la pregunta 1.

  2. Compara los números de la columna 2 y de la columna 3. ¿Qué relación encuentras?

  3. Vamos a buscar una interpretación geométrica a la relación anterior. Activa simultáneamente los botones Rectangular y Triangular (sus rótulos quedarán resaltados en rojo). Mueve el deslizador inferior. ¿Se corresponde lo que observas con la relación que has descubierto en la tabla?

  4. Teniendo en cuenta la relación anterior, ¿qué fórmula podemos utilizar para calcular el número triangular n? Completa:

T(n) = ........

  1. Otra forma de calcular el número triangular consiste en sumar el número de círculos de cada una de las filas que lo forman. Si observas el número triangular de arriba a abajo, ¿qué suma tendrías que hacer para hallar el número triangular 2? ¿Y el 3? ¿Y el 4? ¿Y el 10? ¿Y el 100?

  2. ¿Cómo podemos calcular la suma de los n primeros números naturales? Completa:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n = ........

  1. Desactiva los botones Triangular y Rectangular haciendo clic nuevamente sobre ellos. Haz clic sobre el botón Cuadrado. Mueve el deslizador inferior y observa la formación de los números cuadrados. Activa la casilla Tabla de valores y completa la cuarta columna (Cuadrado) de la tabla de la pregunta 1.

  2. Busca una fórmula para obtener el número cuadrado de orden n. Completa:

C(n) = ........

  1. ¿Es cierta la relación: R(n) = C(n) + n? Compruébalo en la tabla y también gráficamente. (Activa simultáneamente los botones Rectangular y Cuadrado y trata de interpretar la figura).

  2. Desactiva el botón Rectangular y activa el botón Triangular. Mueve el deslizador de la parte inferior. Observando las figuras que se van formando, ¿observas alguna relación entre los números cuadrados y los triangulares? Comprueba en la tabla la relación que has encontrado. ¿Cómo la escribirías algebraicamente?

  3. Haz clic sobre el botón Pentagonal. Mueve el deslizador inferior y observa la formación de los números pentagonales. Activa la casilla Tabla de valores y completa la quinta columna (Pentagonal) de la tabla de la pregunta 1.

  4. En la pregunta 13 hemos encontrado una forma de expresar un número cuadrado como suma de dos números triangulares. ¿Podremos expresar también un número pentagonal como suma de números triangulares? Observa la figura siguiente y trata de interpretar en la tabla de valores lo que se ha representado geométricamente.

penta
  1. Busca una fórmula para obtener el número pentagonal que ocupa el lugar n a partir de alguna de las relaciones que has encontrado en el apartado anterior o de otras relaciones que puedas descubrir en la tabla. Completa:

P(n) = ........

  1. Haz clic sobre el botón Hexagonal. Mueve el deslizador superior y observa la formación de los números hexagonales. Activa la casilla Tabla de valores y completa la sexta columna (Hexagonal) de la tabla de la pregunta 1.

  2. Analiza la tabla. Busca alguna relación entre la columna de los números triangulares y la de los números hexagonales. ¿Cómo la expresarías? ¿Qué interpretación geométrica tendría? Haz un dibujo esquemático sobre un número hexagonal de orden 5.

  3. Busca una fórmula para obtener el número hexagonal que ocupa el lugar n a partir de alguna de las relaciones que has encontrado en el apartado anterior o de otras relaciones que puedas descubrir en la tabla. Completa:

    H(n) = ........

  4. Busca otras relaciones en la tabla. Escríbelas algebraicamente y haz una interpretación geométrica de cada una de ellas.

  5. Haz clic ahora sobre el botón Otros. Ahora dispones de otro deslizador en la parte inferior de la ventana izquierda con el que puedes elegir el número de lados del polígono, de modo que combinando este deslizador con el que ya has utilizado antes puedes generar todos los números poligonales hasta el orden 12. Añade algunas columnas más en tu tabla para los números poligonales de orden 7, 8, ... Completa las nuevas columnas de la tabla ayudándote de los deslizadores.