Funciones iguales, pares e impares

Si tenemos dos funciones f y g, podemos preguntarnos en qué condiciones serán iguales. Ahora bien, para que lo sean debe cumplirse que f(x) y g(x) tomen siempre el mismo valor... ¡para cualquier valor de x! Por ejemplo, podemos asegurar que las funciones cuadráticas f y g definidas por:

 f(x) = (x + 3)2         g(x) = x2 + 6 x + 9

son iguales, ya que cualquiera que sea el valor de x, siempre se cumple que:

(x + 3)2 = x2 + 6 x + 9

Usando este tipo de igualdades entre funciones, en esta actividad buscaremos las condiciones que debe cumplir una función para que su gráfica tenga como eje de simetría el eje OY (funciones pares) o como centro de simetría el origen de coordenadas (funciones impares).

Usa la aplicación y responde:

  1. Al iniciarse, la aplicación muestra la gráfica parabólica de la función cuadrática f y la parábola simétrica de ella respecto al eje OY. Mueve el punto P. ¿Cuáles son, en función de x, las coordenadas del punto reflejado P', teniendo en cuenta que, para cada valor de x, las coordenadas de P son (x,  a x2 + b x + c)? ¿Cuál es entonces la ecuación de la función cuadrática g cuya gráfica es simétrica de f respecto al eje OY?

  2. La función g está definida por g(x) = a x2 - b x + c (compruébalo). ¿Qué condición debe cumplir b para que ambas funciones coincidan? Observa que la definición de g(x) no es otra que f(-x). Por tanto, ¿qué condición debe cumplir cualquier función para que sea simétrica con respecto al eje OY?

  3. Elige con el deslizador la Simetría 2. Comprueba con este ejemplo que la única función, de cualquier tipo, que es simétrica respecto al eje OX es la función constante f(x) = 0, cuya gráfica es precisamente el eje OX. ¿Por qué no puede haber otras funciones simétricas respecto a ese eje?

  4. Elige con el deslizador la Simetría 3. Mueve el punto P. ¿Cuál es la ecuación de la función cuadrática g cuya gráfica es simétrica de f respecto al origen de coordenadas?

  5. La función g está definida por g(x) = -a x2 + b x - c (compruébalo). ¿Qué condición deben cumplir a y c para que ambas funciones coincidan? Observa que la definición de g(x) no es otra que -f(-x). Por tanto, ¿qué condición debe cumplir cualquier función para que sea simétrica con respecto al origen de coordenadas?